На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2003


Единый государственный экзамен по математике, 2003 год

Скачать pdf-файл.

Часть A

A1. Упростите выражение \frac{{\cos ^4 \alpha  + \sin ^2
\alpha  \cdot \cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2 \alpha }}.

1.
1
2.

{\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2 \alpha
3.

{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha
4.

\frac{1}{{\sin ^2 \alpha }}

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

\frac{{\cos ^4 \alpha  + \sin ^2 \alpha  \cdot \cos ^2 \alpha
}}{{\sin ^2 \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha (\cos ^2 \alpha  + \sin
^2 \alpha )}}{{\sin ^2 \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2
\alpha }} = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha .

Правильный ответ: 3.

A2. Представьте выражение a^{\frac{9}{4}} :a^{ -
\,\frac{3}{4}} в виде степени с основанием a.

1.

a^{ - \frac{{27}}{{16}}}
2.

a^{\frac{3}{2}}
3.

a^{ - 3}
4.

a^3

Решение. На основании свойств степени имеем:

a^{\frac{9}{4}} :a^{ - \,\frac{3}{4}}  = a^{\frac{9}{4}\, -
\,\left( { - \,\frac{3}{4}} \right)}  = a^{\frac{{12}}{4}}  = a^3
.

Правильный ответ: 4.

A3. Вычислите \sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}}.

1.

\frac{3}{2}
2.
15
3.
0,015
4.
0,15

Решение. Применяя свойства корня последовательно получаем:

\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}} = \sqrt[3]{{5^3  \cdot 3^3  \cdot
\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^3 }} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{{10}} =
\frac{3}{2}.

Правильный ответ: 1.

A4. Найдите значение выражения \log _{20} 5 + \log _{20} 4
+ 2.

1.
1
2.
2
3.
3
4.
22

Решение. Используя формулу преобразования суммы логарифмов в логарифм произведения, получаем:

\log _{20} 5 + \log _{20} 4 + 2 = \log _{20} (5 \cdot 4) + 2 = 1
+ 2 = 3.

Правильный ответ: 3.

A5. Найдите все решения уравнения (\mathop \tg ^2 x +
1) \mathop \tg x =  - \frac{1}{{\cos ^2 x}}.

1.

- \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}
2.

\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}
3.

- \frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}
4.

\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}

Решение. Применив формулу 1 + \mathop \tg ^2 x = \frac{1}{{\cos ^2 x}}, получим:

(\mathop \tg ^2 x + 1) \mathop \tg x =  - \frac{1}{{\cos ^2
x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos ^2 x}} \cdot \mathop \tg x + \frac{1}{{\cos ^2 x}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos ^2 x}}(\mathop \tg x + 1) = 0 \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow {\mathop \tg x =  - 1
\Leftrightarrow x =  - \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}.

Правильный ответ: 3.

A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \lg (5 + x) - \lg (1 - x) = \lg 2.

1.

( - 2;\,\,0)
2.

(0;\,\,8)
3.

( - 5;\,\, - 2)
4.

(8;\,\,10)

Решение. Решим уравнение

\lg (5 + x) - \lg (1 - x) = \lg 2 \Leftrightarrow \lg (5 + x) =
\lg 2 + \lg (1 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 - x > 0, \\
5 + x = 2(1 - x) \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
x < 1, \\
3x =  - 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 1.

      Таким образом, корень уравнение принадлежит промежутку ( - 2;\,\,0).

Правильный ответ: 1.

A7. Решите неравенство 16 \le 2^{x + 3} .

1.

- 3
2.

[7;\,\, + \infty )
3.

( - \infty ;\,\, - 1]
4.

[1;\,\, + \infty )

Решение. По свойству показательной функции с основанием большим единицы

16 \le 2^{x + 3}  \Leftrightarrow 2^4  \le 2^{x + 3} \mathop 
\Leftrightarrow \limits_{2 > 1} 4 \le x + 3 \Leftrightarrow x \ge
1.

Правильный ответ: 4.

A8. Определите число целых решений неравенства \frac{{6 -
x}}{{3x - 9}} \ge 0.

1.
1
2.
2
3.
3
4.
4

Решение. Решим неравенство методом интервалов:

\frac{{6 - x}}{{3x - 9}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 6}}{{x
- 3}} \le 0

      На промежутке (3;\,\,6] есть три целых решения: 4, 5, 6.

Правильный ответ: 3.

A9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения \sqrt {x - 5}  = 7 - x.

1.

[0;\,\,5,\!3]
2.

[5,\!5;\,\,6,\!3]
3.

[7;\,\,10]
4.

[11;\,\,12,\!5]

Решение.

I способ. Используя теорему равносильности \sqrt {f(x)}  = g(x)
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(x) = g^2 (x), \\
g(x) \ge 0 \\
\end{array} \right., получим:

\sqrt {x - 5}  = 7 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
7 - x \ge 0, \\
x - 5 = (7 - x)^2  \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 7, \\
x^2  - 15x + 54 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 7, \\
\left[ \begin{array}{l}
x = 6, \\
x = 9 \\
\end{array} \right. \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6.

II способ. Приведем уравнение к квадратному относительно \sqrt {x
- 5} :


\sqrt {x - 5}  = 7 - x \Leftrightarrow x - 5 + \sqrt {x - 5}  - 2 = 0
\Leftrightarrow \sqrt {x - 5} ^{\,2}  + \sqrt {x - 5}  - 2 = 0
\Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x - 5}  =  - 2\,\, - \,\,решений\,\,нет, \\
\sqrt {x - 5}  = 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 5 = 1 \Leftrightarrow x = 6

      Таким образом, корень уравнения принадлежит промежутку [5,\!5;\,\,6,\!3].

Правильный ответ: 2.

A10. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1.

[ - 1;\,\,2)
2.

[ - 2;\,\,1]
3.

( - 1;\,\,6)
4.

[ - 1;\,\,7]

Решение. Область определения функции есть множество значений ее аргумента x. В нашем случае, это отрезок [ -
1;\,\,7].

Правильный ответ: 4.

A11. Найдите область определения функции y = \log
_{\frac{1}{5}} \frac{{6 - x}}{{6 + 2x}}.

1.

( - 3;\,\,6)
2.

( - 6;\,\,3)
3.

( - \infty ;\,\, - 3) \cup (6;\,\, + \infty )
4.

(0;\,\,6)

Решение. Область определения функции задается неравенством \frac{{6 - x}}{{6 + 2x}} > 0. Решим его методом интервалов:

\frac{{6 - x}}{{6 + 2x}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 6}}{{x +
3}} < 0

Правильный ответ: 1.

A12. Найдите множество значений функции y = \sin x -
3.

1.

[ - 4;\,\, - 2]
2.

[ - 10;\,\,4]
3.

[ - 4;\,\,4]
4.

[ - 10;\,\,10]

Решение. В силу ограниченности функции синус и свойств неравенств:

 - 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow  - 4 \le \sin x - 3 \le  -
2.

Правильный ответ: 1.

A13. График какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

1.

y = 2^x
2.

y = (0,\!5)^x
3.

y = \log _2 x
4.

y = \log _{0,\!5} x

Решение. На рисунке изображен график функции y = \log _2
x.

Правильный ответ: 3.

A14. Найдите производную функции y = \cos x + x^4 .

1.

y' =  - \sin x + 4x^3
2.

y' = \sin x + 4x^3
3.

y' = \sin x + x^3
4.

y' =  - \sin x + x^3

Решение. Используя формулы (x^n )' = nx^{n - 1} и (\cos x)' =  - \sin x, получим:

y' =  - \sin x + 4x^3 .

Правильный ответ: 1.

A15. Найдите первообразную функции f(x) = e^x  + 4x^3
, если известно, что F(0) =  - 1.

1.

F(x) = e^x  + 3x^4  - 2
2.

F(x) = e^x  + x^4  - 2
3.

F(x) = e^x  + 12x^2  - 2
4.

F(x) =  - e^x  + 12x^2

Решение. Найдем множество первообразных F(x):

F(x) = e^x  + \frac{1}{4} \cdot 4x^4  + C = e^x  + x^4  +
C.

      Найдем C:

F(0) =  - 1 \Leftrightarrow e^0  + 0^4  + C =  - 1
\Leftrightarrow 1 + C =  - 1 \Leftrightarrow C =  - 2.

      Таким образом,

F(x) = e^x  + x^4  - 2.

      Правильный ответ: 2.

A16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = 5x^2  - 3x + 2 в его точке с абсциссой x_0  = 2.

1.
16
2.
17
3.
0,3
4.
0

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке:

y'(x) = 10x - 3;

y'(2) = 10 \cdot 2 - 3 = 17.

Правильный ответ: 2.

Часть B

B1. Пусть (x_0 ;\,\,y_0 ) — решение системы \left\{ \begin{array}{l}
y + 3 = \sqrt {4x^2  + 20x + 25} , \\
3x - y + 7 = 0. \\
\end{array} \right. Найдите произведение x_0  \cdot y_0
.

Решение. Решим систему


\left\{ \begin{array}{l}
y + 3 = \sqrt {4x^2  + 20x + 25} , \\
3x - y + 7 = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {(2x + 5)^2 }  = 3x + 7 + 3, \\
y = 3x + 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
|2x + 5|\,\, = 3x + 10, \\
y = 3x + 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{{10}}{3}, \\
\\
\left[ \begin{array}{l}
2x + 5 =  - (3x + 10), \\
2x + 5 = 3x + 10, \\
\end{array} \right. \\
y = 3x + 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge  - \frac{{10}}{3}, \\
\\
\left[ \begin{array}{l}
x =  - 3, \\
x =  - 5, \\
\end{array} \right. \\
y = 3x + 7 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 3, \\
y =  - 2. \\
\end{array} \right.

      Таким образом, произведением решений системы будет являться число 6.

Ответ: 6.

B2.  На рисунке изображен график производной функции y = f'(x), заданной на отрезке [a;\,\,b]. Исследуйте функцию y = f(x) на моно­тон­ность и в ответе укажите число промежутков возрастания.

Решение. Данная функция возрастает на тех промежутках, на которых производная этой функции неотрицательна. В нашем случае таких про­ме­жут­ков 2.

Ответ: 2.

B3. Найдите значение выражения (\log _{\sqrt[5]{5}} \sqrt
5  + \log _3 48 - \log _3 16) \cdot 15^{\log _{15} 4} .

Решение.


(\log _{\sqrt[5]{5}} \sqrt 5  + \log _3 48 - \log _3 16) \cdot
15^{\log _{15} 4}  = \left( {\log _{5^{\frac{1}{5}} } 5^{\frac{1}{2}} 
+ \log _3 \frac{{48}}{{16}}} \right) \cdot 4 =

 = \left( {\frac{5}{2}\log _5 5 + \log _3 3} \right) \cdot 4 =
\left( {\frac{5}{2} + 1} \right) \cdot 4 = 14.

Ответ: 14.

B4. Найдите наибольшее целое значение функции y =
\frac{3}{2}\sqrt {25\cos ^2 x + 10\cos x + 14} .

Решение. Наибольшее значение функции y достигается при наибольшем значении подкоренного выражения g(x) = 25\cos ^2 x +
10\cos x + 14, т.е. при наибольшем значении квадратного трехчлена f(t) = 25t^2  + 10t + 14 на отрезке [ -
1;\,\,1].

f(t) = 25t^2  + 10t + 14 = (5t + 1)^2  + 13.

\mathop {\max }\limits_{[ - 1;\,\,1]} f(t) = f(1) = 6^2  + 13 =
49.

      Тогда

\mathop {\max }\limits_{\mathbb{R}} y(x) = 1,\!5\sqrt {49}  = 10,\!5.

Ответ: 10,5.

B5. Укажите число корней уравнения \mathop \tg 2x \cdot \sin 4x +
\cos 4x - \cos 8x = 0 на промежутке [0;\,\,2\pi ].

Решение. Упростим выражение \mathop \tg 2x \cdot \sin 4x + \cos 4x -
\cos 8x:

\mathop \tg 2x \cdot \sin 4x + \cos 4x - \cos 8x = 
\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x + \cos 4x -
\cos 8x =

 = 2\sin ^2 2x + \cos 4x - \cos 8x = 2\sin ^2 2x + 1 -
2\sin ^2 2x - \cos 8x = 1 - \cos 8x, где \cos 2x
\ne 0.

      Решим систему


\left\{ \begin{array}{l}
\cos 2x \ne 0, \\
1 - \cos 8x = 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\cos 2x \ne 0, \\
\cos 8x = 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,n \in \mathbb{Z}, \\
8x = 2\pi k,\,\,k \in \mathbb{Z} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\,\,n \in \mathbb{Z}, \\
x = \frac{{\pi k}}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}. \\
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \;x = \frac{{\pi
k}}{2},\;k \in \mathbb{Z}.

      На промежутке [0;\,\,2\pi
] решениями являются 0, \frac{\pi }{2}, \pi
, \frac{{3\pi }}{2}, 2\pi .

Ответ: 5.

B6. При каком значении a функция y = \sqrt[5]{{ax^2
 + 15x - 1}} имеет максимум в точке x_0  =
\frac{3}{2}?

Решение. Функция y(x) имеет максимум в той же точке, что и фнкция g(x) = ax^2  + 15x - 1, которая имеет максимум в точке x =  - \frac{{15}}{{2a}} только при отрицательных значений старшего коэффициента a. Решим уравнение

 - \frac{{15}}{{2a}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a =  -
5.

Ответ:  - 5.

B7. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Решение. В первом растворе находится 0,\!8 \cdot 120 =
96 граммов, а во втором 480 \cdot 0,\!2 = 96 граммов соли. Масса сухого вещества после сливания стала 96 + 96 =
192 граммов, масса растворов 120 + 480 = 600граммов. Тогда процентное содержание \eta соли в полученном растворе есть

\eta  = \frac{{192}}{{600}} \cdot 100\%  = 32\% .

Ответ: 32%.

B8. Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500. Найдите сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

Решение. Поскольку a_n  = a_{\,1}  + (n - 1)d и S_n  = \frac{{2a_{\,1}  + d(n - 1)}}{2} \cdot n, имеем систему


\left\{ \begin{array}{l}
a_{\,1}  + (10 - 1)d = 19, \\
\frac{{2a_{\,1}  + d(50 - 1)}}{2} \cdot 50 = 2500 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_{\,1}  + 9d = 19, \\
2a_{\,1}  + 49d = 100 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_{\,1}  = 19 - 9d, \\
31d = 62 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a_{\,1}  = 1, \\
d = 2. \\
\end{array} \right.

      Таким образом,

a_3  = 1 + (3 - 1) \cdot 2 = 5,

a_{12}  = 1 + (12 - 1) \cdot 2 = 23,

a_{20}  = 1 + (20 - 1) \cdot 2 = 39.

      Искомая сумма равна

5 + 23 + 39 = 67.

Ответ: 67.

B9. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна 2\sqrt 3 , а все плоские углы при вершине прямые.

Решение.

1. Пусть боковые ребра пирамиды имеют длину a. Тогда длина стороны ее основания равна a \sqrt 2. Если за основание принять одну из боковых граней пирамиды, то объем пирамиды равен V = \frac{1}{6}a^3 (см. рисунок).

2. С другой стороны

V = \frac{1}{3}H \cdot S_{осн.}  = \frac{1}{3} \cdot 2\sqrt
3  \cdot \frac{{(a\sqrt 2 )^2 \sqrt 3 }}{4} = a^2 .

3. Решая уравнение \frac{1}{6}a^3  = a^2 , находим a =
6, откуда V = 36.

Ответ: V = 36.

B10. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 30^\circ , а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии 2\sqrt 3 от основания.

Решение.

1. Введем обозначения, как показано на рисунке. Поскольку точка O равноудалена от боковых сторон, она принадлежит BD — биссектрисе, а, следовательно, медиане и высоте данного треугольника.

2. Треугольники ABD и OKB — подобны (\angleBKO = \angleBDA = 90° и \angleABD — общий), следовательно, \angle KOB = \angle
BAD = 30^\circ .

      Рассмотрим треугольник KBO:

BO\,\, = \,\,KO:\cos (\widehat{BOK}) = 2\sqrt 3 ,

следовательно,

BD\,\, = \,\,BO + OD\,\, = 2\sqrt 3  + 2\sqrt 3  = 4\sqrt 3
.

3. Из прямоугольного треугольника ABD получаем

AD = BD \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits}
(\widehat{BAD}) = 4\sqrt 3 \cdot \sqrt 3  = 12, и поскольку AD = DC, AC = 2AD = 24.

Ответ: 24.

Часть C

C1. Решите уравнение \sqrt {\,13 + \frac{4}{{\log _x 3}}} 
= 2\log _3 (3\sqrt x ).

Решение.

\sqrt {\,13 + \frac{4}{{\log _x 3}}}  = 2\log _3 (3\sqrt x )
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
\sqrt {13 + 4\log _3 x}  = 2\log _3 3 + 2\log _3 \sqrt x  \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
\sqrt {13 + 4\log _3 x}  = 2 + \log _3 x \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
2 + \log _3 x \ge 0, \\
13 + 4\log _3 x = (2 + \log _3 x)^2  \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
\log _3 x \ge  - 2, \\
13 + 4\log _3 x = 4 + 4\log _3 x + \log _3^{\,2} x \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
\log _3 x \ge  - 2, \\
\log _3^{\,2} x = 9 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left\{
\begin{array}{l}
0 < x \ne 1, \\
\log _3 x = 3 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 27.

Ответ: \{ 27\} .

C2. Найдите все значения p, при которых уравнение 6\sin ^3 x = p - 5\cos 2x не имеет корней.

Решение.


6\sin ^3 x = p - 5\cos 2x \Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x + 5\cos 2x
\Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x + 5(1 - 2\sin ^2 x) \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x - 10\sin ^2 x + 5.

      Уравнение не имеет решений при всех p, не принадлежащих множеству значений функции y(x) =
6\sin ^3 x - 10\sin ^2 x + 5, совпадающему со множеством значений функции g(t) = 6t^3  - 10t^2  + 5 на отрезке [ -
1;\,\,1]. Найдем это множество:

Имеем: g'(t) = 18t^2  - 20t = 2t(9t - 10). (см.рис)

Тогда

а) \mathop {\max }\limits_{[ - 1;\,\,1]} g(t) = g_{\max }  = g(0)
= 5;

б) g( - 1) =  - 11, g(1) = 1 и, так как g( - 1) < g(1), имеем \mathop {\min }\limits_{[ -
1;\,\,1]} g(t) = g( - 1) =  - 11. Так как функция g(t) =
6t^3  - 10t^2  + 5 непрерывна на отрезке [ - 1;\,\,1], ее множество значений – отрезок [ - 11;\,\,5].

      Таким образом, уравнение не имеет решений для p \in ( - \infty ;\,\, - 11) \cup (5;\,\, + \infty
).

Ответ: ( - \infty ;\,\, - 11) \cup (5;\,\, + \infty ).

C3. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 16\pi \sqrt 3 . Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно 2\sqrt 3 . Найдите объем призмы.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

S_{бок.}  = 2\pi RH,

где R — радиус основания цилиндра, H — его высота.

Тогда

16\pi \sqrt 3  = 2\pi RH \Leftrightarrow RH = 8\sqrt 3 .

2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между одной из прямых и параллельной ей плоскостью, содержащей вторую прямую. Тогда расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой стороны призмы есть расстояние от прямой OO' до плоскости AA'B'B, которое равно высоте треугольника AOB, проведенной из точки O.

3. Так как треугольник AOB равносторонний, его высота есть OB \cdot 0,\!5\sqrt 3  = 0,\!5R\sqrt 3 , откуда

0,\!5R\sqrt 3  = 2\sqrt 3  \Leftrightarrow R = 4.

4. Объем призмы равен:

V = S \cdot H = 6 \cdot \frac{{R^2 \sqrt 3 }}{4} \cdot H =
\frac{3}{2}\sqrt 3  \cdot R \cdot RH = \frac{3}{2}\sqrt 3  \cdot 4
\cdot 8\sqrt 3  = 144.

Ответ: V = 144.

C4. Найдите все значения параметра a, при которых область определения функции y = ((\sqrt a )^{2x + 1}  + a^4 \sqrt
x  - x^{0,\!5 + x\log _x a}  - (\sqrt a )^9 )^{0,\!5} содержит два или три целых числа.

Решение. По смыслу задачи: a > 0, 0 < x \ne
1.

Поскольку степень с дробным положительным показателем определена только для неотрицательного основания, область определения данной функции задается неравенством (\sqrt a )^{2x + 1}  + a^4 \sqrt x 
- x^{0,\!5 + x\log _x a}  - (\sqrt a )^9  \ge 0. Решим это неравенство:


(\sqrt a )^{2x + 1}  + a^4 \sqrt x  - x^{0,\!5 + x\log _x a}  - (\sqrt a
)^9  \ge 0 \Leftrightarrow a^{x + \frac{1}{2}}  + a^4  \cdot
x^{\frac{1}{2}}  - x^{\frac{1}{2}}  \cdot a^x  - a^{\frac{9}{2}}  \ge 0
\Leftrightarrow

 \Leftrightarrow a^x (a^{\frac{1}{2}}  - x^{\frac{1}{2}} ) + a^4
(x^{\frac{1}{2}}  - a^{\frac{1}{2}} ) \ge 0 \Leftrightarrow (a^x  - a^4
)(a^{\frac{1}{2}}  - x^{\frac{1}{2}} ) \ge 0.

При a = 1 решениями неравенства являются все допустимые значения x, и область определения данной функции содержит бесконечное множество целых чисел.

Решим последнее неравенство при a > 0,\;a \ne 1 методом интервалов:.

Имеем:
 
1. При a > 4: ООФ – отрезок [4;\,\,a].


2. При a = 4: ООФ – множество \{ 4\} .


3. При 1 < a < 4: ООФ – отрезок [a;\,\,4].


4. При 0 < a < 1: ООФ – множество(0;\,\,a]
\cup [4;\,\, + \infty ).

      В первом случае ООФ содержит 2 или 3 целых числа, если 5 \le a < 7, во втором случае – ни при каких a, в третьем – при 1 < a \le 3, в четвертом – ни при каких a.

Ответ: a \in (1;\,\,3] \cup [5;\,\,7).



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке