Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2003

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год

Часть A

A1. Упростите выражение $\frac{{\cos ^4 \alpha + \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2 \alpha }}$ .

1. 1
2. ${\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2 \alpha$
3. ${\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha$
4. $\frac{1}{{\sin ^2 \alpha }}$

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем:

$\frac{{\cos ^4 \alpha + \sin ^2 \alpha \cdot \cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2 \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha )}}{{\sin ^2 \alpha }} = \frac{{\cos ^2 \alpha }}{{\sin ^2 \alpha }} = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha$ .

Правильный ответ: 3.

A2. Представьте выражение $a^{\frac{9}{4}} :a^{ - \,\frac{3}{4}}$ в виде степени с основанием a.

1. $a^{ - \frac{{27}}{{16}}}$
2. $a^{\frac{3}{2}}$
3. $a^{ - 3}$
4. a^3

Решение. На основании свойств степени имеем:

$a^{\frac{9}{4}} :a^{ - \,\frac{3}{4}} = a^{\frac{9}{4}\, - \,\left( { - \,\frac{3}{4}} \right)} = a^{\frac{{12}}{4}} = a^3$ .

Правильный ответ: 4.

A3. Вычислите $\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}}$ .

1. $\frac{3}{2}$
2. 15
3. 0,015
4. 0,15

Решение. Применяя свойства корня последовательно получаем:

$\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}} = \sqrt[3]{{5^3 \cdot 3^3 \cdot \left( {\frac{1}{{10}}} \right)^3 }} = 5 \cdot 3 \cdot \frac{1}{{10}} = \frac{3}{2}$ .

Правильный ответ: 1.

A4. Найдите значение выражения $\log _{20} 5 + \log _{20} 4 + 2$ .

1. 1
2. 2
3. 3
4. 22

Решение. Используя формулу преобразования суммы логарифмов в логарифм произведения, получаем:

$\log _{20} 5 + \log _{20} 4 + 2 = \log _{20} (5 \cdot 4) + 2 = 1 + 2 = 3$ .

Правильный ответ: 3.

A5. Найдите все решения уравнения $(\mathop \tg ^2 x + 1) \mathop \tg x = - \frac{1}{{\cos ^2 x}}$ .

1. $- \frac{\pi }{2} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$
2. $\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$
3. $- \frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$
4. $\frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$

Решение. Применив формулу $1 + \mathop \tg ^2 x = \frac{1}{{\cos ^2 x}}$ , получим:

$(\mathop \tg ^2 x + 1) \mathop \tg x = - \frac{1}{{\cos ^2 x}} \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos ^2 x}} \cdot \mathop \tg x + \frac{1}{{\cos ^2 x}} = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\cos ^2 x}}(\mathop \tg x + 1) = 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\mathop \tg x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}$ .

Правильный ответ: 3.

A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $\lg (5 + x) - \lg (1 - x) = \lg 2$ .

1. $( - 2;\,\,0)$
2. $(0;\,\,8)$
3. $( - 5;\,\, - 2)$
4. $(8;\,\,10)$

Решение. Решим уравнение

$\lg (5 + x) - \lg (1 - x) = \lg 2 \Leftrightarrow \lg (5 + x) = \lg 2 + \lg (1 - x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - x > 0, \\ 5 + x = 2(1 - x) \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x < 1, \\ 3x = - 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1$ .

Таким образом, корень уравнение принадлежит промежутку $( - 2;\,\,0)$ .

Правильный ответ: 1.

A7. Решите неравенство $16 \le 2^{x + 3}$ .

1.
2. $[7;\,\, + \infty )$
3. $( - \infty ;\,\, - 1]$
4. $[1;\,\, + \infty )$

Решение. По свойству показательной функции с основанием большим единицы

$16 \le 2^{x + 3} \Leftrightarrow 2^4 \le 2^{x + 3} \mathop \Leftrightarrow \limits_{2 > 1} 4 \le x + 3 \Leftrightarrow x \ge 1$ .

Правильный ответ: 4.

A8. Определите число целых решений неравенства $\frac{{6 - x}}{{3x - 9}} \ge 0$ .

1. 1
2. 2
3. 3
4. 4

Решение. Решим неравенство методом интервалов:

$\frac{{6 - x}}{{3x - 9}} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 6}}{{x - 3}} \le 0$

На промежутке $(3;\,\,6]$ есть три целых решения: 4, 5, 6.

Правильный ответ: 3.

A9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения $\sqrt {x - 5} = 7 - x$ .

1. $[0;\,\,5,\!3]$
2. $[5,\!5;\,\,6,\!3]$
3. $[7;\,\,10]$
4. $[11;\,\,12,\!5]$

Решение.

I способ. Используя теорему равносильности $\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^2 (x), \\ g(x) \ge 0 \\ \end{array} \right.$ , получим:

$\sqrt {x - 5} = 7 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 7 - x \ge 0, \\ x - 5 = (7 - x)^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 7, \\ x^2 - 15x + 54 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \le 7, \\ \left[ \begin{array}{l} x = 6, \\ x = 9 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6$ .

II способ. Приведем уравнение к квадратному относительно $\sqrt {x - 5}$ :

$\sqrt {x - 5} = 7 - x \Leftrightarrow x - 5 + \sqrt {x - 5} - 2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 5} ^{\,2} + \sqrt {x - 5} - 2 = 0 \Leftrightarrow$

Таким образом, корень уравнения принадлежит промежутку $[5,\!5;\,\,6,\!3]$ .

Правильный ответ: 2.

A10. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1. $[ - 1;\,\,2)$
2. $[ - 2;\,\,1]$
3. $( - 1;\,\,6)$
4. $[ - 1;\,\,7]$

Решение. Область определения функции есть множество значений ее аргумента x. В нашем случае, это отрезок $[ - 1;\,\,7]$ .

Правильный ответ: 4.

A11. Найдите область определения функции $y = \log _{\frac{1}{5}} \frac{{6 - x}}{{6 + 2x}}$ .

1. $( - 3;\,\,6)$
2. $( - 6;\,\,3)$
3. $( - \infty ;\,\, - 3) \cup (6;\,\, + \infty )$
4. $(0;\,\,6)$

Решение. Область определения функции задается неравенством $\frac{{6 - x}}{{6 + 2x}} > 0$ . Решим его методом интервалов:

$\frac{{6 - x}}{{6 + 2x}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{x - 6}}{{x + 3}} < 0$

Правильный ответ: 1.

A12. Найдите множество значений функции $y = \sin x - 3$ .

1. $[ - 4;\,\, - 2]$
2. $[ - 10;\,\,4]$
3. $[ - 4;\,\,4]$
4. $[ - 10;\,\,10]$

Решение. В силу ограниченности функции синус и свойств неравенств:

$- 1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow - 4 \le \sin x - 3 \le - 2$ .

Правильный ответ: 1.

A13. График какой из перечисленных функций изображен на рисунке?

1. y = 2^x
2. $y = (0,\!5)^x$
3. $y = \log _2 x$
4. $y = \log _{0,\!5} x$

Решение. На рисунке изображен график функции $y = \log _2 x$ .

Правильный ответ: 3.

A14. Найдите производную функции $y = \cos x + x^4$ .

1. $y' = - \sin x + 4x^3$
2. $y' = \sin x + 4x^3$
3. $y' = \sin x + x^3$
4. $y' = - \sin x + x^3$

Решение. Используя формулы $(x^n )' = nx^{n - 1}$ и $(\cos x)' = - \sin x$ , получим:

$y' = - \sin x + 4x^3$ .

Правильный ответ: 1.

A15. Найдите первообразную функции f(x) = e^x + 4x^3 , если известно, что F(0) = - 1 .

1. F(x) = e^x + 3x^4 - 2
2. F(x) = e^x + x^4 - 2
3. F(x) = e^x + 12x^2 - 2
4. F(x) = - e^x + 12x^2

Решение. Найдем множество первообразных F(x) :

$F(x) = e^x + \frac{1}{4} \cdot 4x^4 + C = e^x + x^4 + C$ .

Найдем C:

$F(0) = - 1 \Leftrightarrow e^0 + 0^4 + C = - 1 \Leftrightarrow 1 + C = - 1 \Leftrightarrow C = - 2$ .

Таким образом,

F(x) = e^x + x^4 - 2 .

Правильный ответ: 2.

A16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = 5x^2 - 3x + 2 в его точке с абсциссой x_0 = 2 .

1. 16
2. 17
3. 0,3
4. 0

Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке:

y'(x) = 10x - 3 ;

$y'(2) = 10 \cdot 2 - 3 = 17$ .

Правильный ответ: 2.

Часть B

B1. Пусть $(x_0 ;\,\,y_0 )$ — решение системы $\left\{ \begin{array}{l} y + 3 = \sqrt {4x^2 + 20x + 25} , \\ 3x - y + 7 = 0. \\ \end{array} \right.$ Найдите произведение $x_0 \cdot y_0$ .

Решение. Решим систему

$\left\{ \begin{array}{l} y + 3 = \sqrt {4x^2 + 20x + 25} , \\ 3x - y + 7 = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {(2x + 5)^2 } = 3x + 7 + 3, \\ y = 3x + 7 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} |2x + 5|\,\, = 3x + 10, \\ y = 3x + 7 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{{10}}{3}, \\ \\ \left[ \begin{array}{l} 2x + 5 = - (3x + 10), \\ 2x + 5 = 3x + 10, \\ \end{array} \right. \\ y = 3x + 7 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - \frac{{10}}{3}, \\ \\ \left[ \begin{array}{l} x = - 3, \\ x = - 5, \\ \end{array} \right. \\ y = 3x + 7 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 3, \\ y = - 2. \\ \end{array} \right.$

Таким образом, произведением решений системы будет являться число 6.

Ответ: 6.

B2. На рисунке изображен график производной функции y = f'(x) , заданной на отрезке $[a;\,\,b]$ . Исследуйте функцию y = f(x) на монотонность и в ответе укажите число промежутков возрастания.

Решение. Данная функция возрастает на тех промежутках, на которых производная этой функции неотрицательна. В нашем случае таких промежутков 2.

Ответ: 2.

B3. Найдите значение выражения $(\log _{\sqrt[5]{5}} \sqrt 5 + \log _3 48 - \log _3 16) \cdot 15^{\log _{15} 4}$ .

Решение.

$(\log _{\sqrt[5]{5}} \sqrt 5 + \log _3 48 - \log _3 16) \cdot 15^{\log _{15} 4} = \left( {\log _{5^{\frac{1}{5}} } 5^{\frac{1}{2}} + \log _3 \frac{{48}}{{16}}} \right) \cdot 4 =$

$= \left( {\frac{5}{2}\log _5 5 + \log _3 3} \right) \cdot 4 = \left( {\frac{5}{2} + 1} \right) \cdot 4 = 14$ .

Ответ: 14.

B4. Найдите наибольшее целое значение функции $y = \frac{3}{2}\sqrt {25\cos ^2 x + 10\cos x + 14}$ .

Решение. Наибольшее значение функции y достигается при наибольшем значении подкоренного выражения $g(x) = 25\cos ^2 x + 10\cos x + 14$ , т.е. при наибольшем значении квадратного трехчлена f(t) = 25t^2 + 10t + 14 на отрезке $[ - 1;\,\,1]$ .

f(t) = 25t^2 + 10t + 14 = (5t + 1)^2 + 13 .

$\mathop {\max }\limits_{[ - 1;\,\,1]} f(t) = f(1) = 6^2 + 13 = 49$ .

Тогда

$\mathop {\max }\limits_{\mathbb{R}} y(x) = 1,\!5\sqrt {49} = 10,\!5$ .

Ответ: 10,5.

B5. Укажите число корней уравнения $\mathop \tg 2x \cdot \sin 4x + \cos 4x - \cos 8x = 0$ на промежутке $[0;\,\,2\pi ]$ .

Решение. Упростим выражение $\mathop \tg 2x \cdot \sin 4x + \cos 4x - \cos 8x$ :

$\mathop \tg 2x \cdot \sin 4x + \cos 4x - \cos 8x =$ $\frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} \cdot 2\sin 2x \cdot \cos 2x + \cos 4x - \cos 8x =$

$= 2\sin ^2 2x + \cos 4x - \cos 8x =$ $2\sin ^2 2x + 1 - 2\sin ^2 2x - \cos 8x =$ $1 - \cos 8x$ , где $\cos 2x \ne 0$ .

Решим систему

$\left\{ \begin{array}{l} \cos 2x \ne 0, \\ 1 - \cos 8x = 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos 2x \ne 0, \\ \cos 8x = 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x \ne \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,n \in \mathbb{Z}, \\ 8x = 2\pi k,\,\,k \in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2},\,\,n \in \mathbb{Z}, \\ x = \frac{{\pi k}}{4},\,\,k \in \mathbb{Z}. \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \;x = \frac{{\pi k}}{2},\;k \in \mathbb{Z}$ .

На промежутке $[0;\,\,2\pi ]$ решениями являются 0, $\frac{\pi }{2}$ , $\pi$ , $\frac{{3\pi }}{2}$ , $2\pi$ .

Ответ: 5.

B6. При каком значении a функция $y = \sqrt[5]{{ax^2 + 15x - 1}}$ имеет максимум в точке $x_0 = \frac{3}{2}$ ?

Решение. Функция y(x) имеет максимум в той же точке, что и фнкция g(x) = ax^2 + 15x - 1 , которая имеет максимум в точке $x = - \frac{{15}}{{2a}}$ только при отрицательных значений старшего коэффициента a. Решим уравнение

$- \frac{{15}}{{2a}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = - 5$ .

Ответ: .

B7. К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20% той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе?

Решение. В первом растворе находится $0,\!8 \cdot 120 = 96$ граммов, а во втором $480 \cdot 0,\!2 = 96$ граммов соли. Масса сухого вещества после сливания стала 96 + 96 =
192 граммов, масса растворов 120 + 480 = 600 граммов. Тогда процентное содержание $\eta$ соли в полученном растворе есть

$\eta = \frac{{192}}{{600}} \cdot 100\% = 32\%$ .

Ответ: 32%.

B8. Десятый член арифметической прогрессии равен 19, а сумма первых пятидесяти членов равна 2500. Найдите сумму третьего, двенадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

Решение. Поскольку $a_n = a_{\,1} + (n - 1)d$ и $S_n = \frac{{2a_{\,1} + d(n - 1)}}{2} \cdot n$ , имеем систему

$\left\{ \begin{array}{l} a_{\,1} + (10 - 1)d = 19, \\ \frac{{2a_{\,1} + d(50 - 1)}}{2} \cdot 50 = 2500 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{\,1} + 9d = 19, \\ 2a_{\,1} + 49d = 100 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{\,1} = 19 - 9d, \\ 31d = 62 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{\,1} = 1, \\ d = 2. \\ \end{array} \right.$

Таким образом,

$a_3 = 1 + (3 - 1) \cdot 2 = 5$ ,

$a_{12} = 1 + (12 - 1) \cdot 2 = 23$ ,

$a_{20} = 1 + (20 - 1) \cdot 2 = 39$ .

Искомая сумма равна

5 + 23 + 39 = 67 .

Ответ: 67.

B9. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна $2\sqrt 3$ , а все плоские углы при вершине прямые.

Решение.

1. Пусть боковые ребра пирамиды имеют длину a. Тогда длина стороны ее основания равна $a \sqrt 2$ . Если за основание принять одну из боковых граней пирамиды, то объем пирамиды равен $V = \frac{1}{6}a^3$ (см. рисунок).

2. С другой стороны

3. Решая уравнение $\frac{1}{6}a^3 = a^2$ , находим a =
6 , откуда V = 36 .

Ответ: V = 36 .

B10. Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен $30^\circ$ , а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии $2\sqrt 3$ от основания.

Решение.

1. Введем обозначения, как показано на рисунке. Поскольку точка O равноудалена от боковых сторон, она принадлежит BD — биссектрисе, а, следовательно, медиане и высоте данного треугольника.

2. Треугольники ABD и OKB — подобны ( $\angle$ BKO = $\angle$ BDA = 90° и $\angle$ ABD — общий), следовательно, $\angle KOB = \angle BAD = 30^\circ$ .

Рассмотрим треугольник KBO:

$BO\,\, = \,\,KO:\cos (\widehat{BOK}) = 2\sqrt 3$ ,

следовательно,

$BD\,\, = \,\,BO + OD\,\, = 2\sqrt 3 + 2\sqrt 3 = 4\sqrt 3$ .

3. Из прямоугольного треугольника ABD получаем

$AD = BD \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} (\widehat{BAD}) = 4\sqrt 3 \cdot \sqrt 3 = 12$ , и поскольку AD = DC , AC = 2AD = 24 .

Ответ: 24.

Часть C

C1. Решите уравнение $\sqrt {\,13 + \frac{4}{{\log _x 3}}} = 2\log _3 (3\sqrt x )$ .

Решение.

$\sqrt {\,13 + \frac{4}{{\log _x 3}}} = 2\log _3 (3\sqrt x ) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ \sqrt {13 + 4\log _3 x} = 2\log _3 3 + 2\log _3 \sqrt x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ \sqrt {13 + 4\log _3 x} = 2 + \log _3 x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ 2 + \log _3 x \ge 0, \\ 13 + 4\log _3 x = (2 + \log _3 x)^2 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ \log _3 x \ge - 2, \\ 13 + 4\log _3 x = 4 + 4\log _3 x + \log _3^{\,2} x \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ \log _3 x \ge - 2, \\ \log _3^{\,2} x = 9 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < x \ne 1, \\ \log _3 x = 3 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 27$ .

Ответ: $\{ 27\}$ .

C2. Найдите все значения p, при которых уравнение $6\sin ^3 x = p - 5\cos 2x$ не имеет корней.

Решение.

$6\sin ^3 x = p - 5\cos 2x \Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x + 5\cos 2x \Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x + 5(1 - 2\sin ^2 x) \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow p = 6\sin ^3 x - 10\sin ^2 x + 5$ .

Уравнение не имеет решений при всех p, не принадлежащих множеству значений функции $y(x) = 6\sin ^3 x - 10\sin ^2 x + 5$ , совпадающему со множеством значений функции g(t) = 6t^3 - 10t^2 + 5 на отрезке $[ - 1;\,\,1]$ . Найдем это множество:

Имеем: g'(t) = 18t^2 - 20t = 2t(9t - 10) . (см.рис)

Тогда

а) $\mathop {\max }\limits_{[ - 1;\,\,1]} g(t) = g_{\max } = g(0) = 5$ ;

б) g( - 1) = - 11 , g(1) = 1 и, так как g( - 1) < g(1) , имеем $\mathop {\min }\limits_{[ - 1;\,\,1]} g(t) = g( - 1) = - 11$ . Так как функция g(t) =
6t^3 - 10t^2 + 5 непрерывна на отрезке $[ - 1;\,\,1]$ , ее множество значений – отрезок $[ - 11;\,\,5]$ .

Таким образом, уравнение не имеет решений для $p \in ( - \infty ;\,\, - 11) \cup (5;\,\, + \infty )$ .

Ответ: $( - \infty ;\,\, - 11) \cup (5;\,\, + \infty )$ .

C3. Около правильной шестиугольной призмы описан цилиндр. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $16\pi \sqrt 3$ . Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно $2\sqrt 3$ . Найдите объем призмы.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке.

1. Площадь боковой поверхности цилиндра равна:

где R — радиус основания цилиндра, H — его высота.

Тогда

$16\pi \sqrt 3 = 2\pi RH \Leftrightarrow RH = 8\sqrt 3$ .

2. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию между одной из прямых и параллельной ей плоскостью, содержащей вторую прямую. Тогда расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой стороны призмы есть расстояние от прямой OO' до плоскости AA'B'B , которое равно высоте треугольника AOB, проведенной из точки O.

3. Так как треугольник AOB равносторонний, его высота есть $OB \cdot 0,\!5\sqrt 3 = 0,\!5R\sqrt 3$ , откуда

$0,\!5R\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow R = 4$ .

4. Объем призмы равен:

$V = S \cdot H = 6 \cdot \frac{{R^2 \sqrt 3 }}{4} \cdot H = \frac{3}{2}\sqrt 3 \cdot R \cdot RH = \frac{3}{2}\sqrt 3 \cdot 4 \cdot 8\sqrt 3 = 144$ .

Ответ: V = 144 .

C4. Найдите все значения параметра a, при которых область определения функции $y = ((\sqrt a )^{2x + 1} + a^4 \sqrt x - x^{0,\!5 + x\log _x a} - (\sqrt a )^9 )^{0,\!5}$ содержит два или три целых числа.

Решение. По смыслу задачи: a > 0 , $0 < x \ne 1$ .

Поскольку степень с дробным положительным показателем определена только для неотрицательного основания, область определения данной функции задается неравенством $(\sqrt a )^{2x + 1} + a^4 \sqrt x - x^{0,\!5 + x\log _x a} - (\sqrt a )^9 \ge 0$ . Решим это неравенство:

$(\sqrt a )^{2x + 1} + a^4 \sqrt x - x^{0,\!5 + x\log _x a} - (\sqrt a )^9 \ge 0 \Leftrightarrow a^{x + \frac{1}{2}} + a^4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot a^x - a^{\frac{9}{2}} \ge 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^x (a^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} ) + a^4 (x^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}} ) \ge 0 \Leftrightarrow (a^x - a^4 )(a^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} ) \ge 0$ .

При a = 1 решениями неравенства являются все допустимые значения x, и область определения данной функции содержит бесконечное множество целых чисел.

Решим последнее неравенство при $a > 0,\;a \ne 1$ методом интервалов:.

Имеем:

1. При a > 4 : ООФ – отрезок $[4;\,\,a]$ .

2. При a = 4 : ООФ – множество $\{ 4\}$ .

3. При 1 < a < 4 : ООФ – отрезок $[a;\,\,4]$ .

4. При 0 < a < 1 : ООФ – множество $(0;\,\,a] \cup [4;\,\, + \infty )$ .

В первом случае ООФ содержит 2 или 3 целых числа, если $5 \le a < 7$ , во втором случае – ни при каких a, в третьем – при $1 < a \le 3$ , в четвертом – ни при каких a.

Ответ: $a \in (1;\,\,3] \cup [5;\,\,7)$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке