Физ-мат класс

Санкт-Петербургский Государственный Унивеситет

Геологический факультет

1977 год

Решить неравенство $\sqrt {x^2 + x} > 1 - 2x$ .
Найти все решения уравнения $\sin 7x + \cos ^2 2x = \sin ^2 2x + \sin x$ , лежащие в интервале $\left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right)$ .
Решить уравнение $\sqrt {2 - \log _x 9} = - \frac{{\sqrt {12} }}{{\log _3 x}}$ .
Вычислить площадь криволинейного треугольника, лежащего в первой четверти и ограниченного линиями , , .
Вектор $\overrightarrow a$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow b = (12; - 16; - 15)$ , образует с осью острый угол. Зная, что $\left| {\overrightarrow a } \right| = 100$ , найти его координаты.

По окружности радиуса движутся в одинаковом направлении две материальные точки со скоростями и . Найдите расстояние между ними через время , если известно, что они начали свое движение одновременно из диаметрально противоположных точек.
а) Решите уравнение $\sqrt {\,|5x - 4|\,\, - 5} = 2x - 3$ (кроме геологического факультета).
б) Решите уравнение $\sqrt {5x - 9} = 2x - 3$ (геологический факультет).
Решите уравнение $\cos 4x + \frac{1}{2} = \cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right)$ .
Нарисуйте график функции $y = \log _2 \left( {\frac{{x - 1}}{x}} \right) + \log _4 x^2$ .
Отрезок является гипотенузой прямоугольного треугольника и стороной равностороннего треугольника . Найдите отношение $\frac{{AB}}{{CD}}$ , если известно, что $\angle BAC = \alpha$ и что отрезки и не пересекаются.

Из некоторого пункта выехали велосипед и через минут вслед за ним автомобиль и мотоцикл. Автомобиль, догнав велосипед, мгновенно повернул обратно и спустя минуты встретил мотоцикл. Скорости мотоцикла и велосипеда равны и км/ч. Найти скорость автомобиля.
Решить уравнение $\sin 2x + 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1$ .
Решить уравнение $\log _2 x = \frac{{\log _2 (1 + 7x - 3x^2 )}}{{\log _x 3}}$ .
В окружность радиуса вписан прямоугольный треугольник площади $8\sqrt 3$ . Биссектрисы углов треугольника пересекают эту окружность с точках , и . Найти площадь треугольника .
Изобразить на плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству .

искомое расстояние равно $2R\left| {\,\cos \frac{{T(V_1 - V_2 )}}{{2R}}\,} \right|$ .
$\left\{ {2;\,\,\frac{9}{4}} \right\}$ .
$\left\{ {\frac{\pi }{3} + \frac{{\pi k}}{2};\,\, - \frac{\pi }{4} + \pi k;\,\,\frac{\pi }{{12}} + \pi k:\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
$\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{{\sqrt {1 - \sqrt 3 \cos \alpha \cdot \sin \alpha } }}$ .

Скорость автомобиля равна км/ч или км/ч.
$x = \frac{\pi }{4} + \pi k$ , $x = - \frac{\pi }{4} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .
$x = \frac{1}{3}$ , .
Площадь треугольника равна $4(\sqrt 3 + 3)$ .