Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → Варианты вступительных работ по математике → МГУ. Геологический факультет

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Геологический факультет

1977 год

В бак может поступать вода через одну из двух труб. Через первую трубу бак можно наполнить на час быстрее, чем через вторую трубу. Если бы емкость бака была больше на , а пропускная способность второй трубы была бы больше на , то для наполнения бака через вторую трубу понадобилось бы столько же времени, сколько требуется для пропуска воды через первую трубу. Какова емкость бака, если известно, что за время его наполнения через вторую трубу через первую трубу могло бы поступить воды?
Решить неравенство $x^3 - \left| {5x - 3} \right| - x < 2$ .
Решить уравнение
$\sin ^2 (2 + 3x) + \cos ^2 (\frac{\pi }{4} + 2x) = \cos ^2 (2 - 5x) + \sin ^2 (\frac{\pi }{4} - 6x)$ .
В окружность с центром вписан треугольник $ABC(\angle BAC > \frac{\pi }{2})$ . Продолжение биссектрисы угла $\angle BAC$ этого треугольника пересекает окружность в точке , а радиус пересекает сторону в точке . Пусть — высота треугольника . Найти отношение площади треугольника к площади четырехугольника .
Найти все значения параметра $\kappa$ , при каждом из которых существует хотя бы одно общее решение у неравенств $x^2 + 4\kappa x + 3\kappa ^2 > 1 + 2\kappa$ и $x^2 + 2\kappa x \le 3\kappa ^2 - 8\kappa + 4$ .

Ответы

1997 год

Решить уравнение $\frac{{x^3 - x^2 - 6x}}{{\sqrt[5]{x}}} = 0$ .
Решить уравнение $2\sin x = 3\cos x \cdot \sin \frac{x}{2}$ .
Решить неравенство $\log _4 \left( {\left( {x - 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \right) + \log _{\frac{1}{4}} \left( {\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)} \right) \le 1$ .
В треугольнике известны: $\sin \angle ABC = \frac{1}{2}$ и $\cos \angle BAC = \frac{1}{5}$ . Найти отношение длин высот, опущенных соответственно из вершины на сторону и из вершины на сторону .
Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} 2x^4 + y^2 = 10 \\ x^2 + 2y^4 = 10. \\ \end{array} \right.$
Любой из трех грузовиков разной грузоподъемности при полной загрузке в каждой поездке может перевести некоторый груз, причем грузовик с наименьшей грузоподъемностью - за 10 поездок. Сколько совместных поездок необходимо двум другим грузовикам для перевозки всего груза (недогрузка запрещается)?

Ответы

2007 год

Решите неравенство $\left| {x - 12} \right| \le \frac{x}{{12 - x}}$ .
Ответ: $\left[ {9,16} \right]$ .
Решите уравнение $\frac{{\cos 2x + \sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{2}\cos x$ .
Ответ: $x = \left( { - 1} \right)^k \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}$ .
Решите неравенство $\sqrt {2^{(x^2 - 4)} - 1} \cdot (x^2 - 7x + 6) \le 0$ .
Ответ: $\left[ {2,6} \right]$
Площадь четырехугольника равна 9, радиус вписанной в него окружности равен 1, а длины сторон и равны 3 и 5 соответственно. Чему равны длины сторон и ?
Ответ: 6, 4.
Решите неравенство $\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\log _x \left( {\log _2 \left( {\frac{{x^2 - 2x}}{{2x - 1}}} \right)} \right)} \le 1$ .
Ответ: $x \in \left( {0,2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ,\infty } \right)$ .
Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, больше 337, но меньше 393. Чему равен восьмой член этой прогрессии, если известно, что он кратен четырем?
Ответ: 24.

Ответы

1977 год

.
$x \in ( - 5;3 + \sqrt 8 )$ .
$\left\{ {x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi \kappa }}{8},\kappa \in \mathbb{Z}} \right.$ , $x = \frac{\pi }{4} - 2 + \pi n,n \in \mathbb{Z}$ , $\left. {x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{2}{3} + \frac{{\pi m}}{3},m \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
$\frac{4}{3}$ .
$\kappa \in ( - \infty ;\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2};\infty )$ .

1997 год

$\left( {3, - 2} \right)$ .
$\left\{ {x = 2\pi n,\,\,n \in ;\,\,x = \pm 2\arccos \left( {\frac{{2 - \sqrt {22} }}{6}} \right) + 4\pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
$\left( { - \infty , - 6} \right) \cup \left( {6,\infty } \right)$ .
$\frac{{\sqrt 6 }}{5}$ .
от 1 до 4.

2007 год

$\left[ {9,16} \right]$ .
$x = \left( { - 1} \right)^k \arcsin \left( { - \frac{1}{3}} \right) + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}$ .
$\left[ {2,6} \right]$ .
6, 4.
$x \in \left( {0,2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 + \sqrt 2 ,\infty } \right)$ .
24.

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке