Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → Варианты вступительных работ по математике → МГУ. Механико-математический факультет

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

1977 год

Решить неравенство $x \le 3 - \frac{1}{{x - 1}}$ .
Длины боковых сторон трапеции равны и . Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно $\frac{5}{{11}}$ . Найти длины оснований трапеции.
Решить уравнение $3^{\frac{1}{2} + \log _3 \cos x} + 6^{\frac{1}{2}} = 9^{\frac{1}{2} + \log _3 \sin x}$ .
Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} y^3 - 9x^2 + 27x - 27 = 0, \\ z^3 - 9y^2 + 27y - 27 = 0, \\ x^3 - 9z^2 + 27z - 27 = 0. \\ \end{array} \right.$
Основанием пирамиды является равносторонний треугольник , длина стороны которого равна $4\sqrt 2$ . Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и имеет длину . Найти величину угла и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку и середину ребра , а другая проходит через точку и середину ребра .

Ответы

1997 год

Решить уравнение $\sqrt { - 24\cos x + 25} = 4\cos x - 3$ .
Решить неравенство $\log _{(x + 1)} \frac{{x^2 + 3x - 4}}{{2x - 4}} \le 1$ .
Считая и целыми числами, решить систему уравнений
$\left\{ \begin{array}{l} 4^{x^2 + 2xy + 1} = (z + 2) \cdot 7^{\left| y \right| - 1} \\ \sin \frac{{3\pi z}}{2} = 1. \\ \end{array} \right.$
В окружности проведены хорды и , пересекающиеся в точке , причем касательная к окружности, проходящая через точку параллельна . Известно, что , а площадь треугольника равна 16. Найти площадь треугольника .
Решить систему
$\left\{ \begin{array}{l} \left| {x + 1} \right| - 1 \le x \\ \left( {2^x + 2^{x - 2} + 2^{2 - x} } \right) \cdot \cos \frac{{\pi x}}{2} + \cos \pi x + 3 + 2^{2x - 3} = 0. \\ \end{array} \right.$
В кубе длина ребра равна 1. Одна сфера радиуса $\frac{1}{3}$ касается плоскости в точке , другая сфера касается плоскости в точке , лежащей на отрезке , причем . Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найти расстояние от точки касания сфер до точки .

Ответы

2007 год

Учитель назвал Пете натуральное число и попросил найти сумму его логарифмов по основаниям и . Однако Петя, по ошибке, не сложил эти логарифмы, а перемножил их, получив неверный ответ, который оказался вдвое меньше верного. Какое число назвал ему учитель?
Графики функций и пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты и в уравнении прямой , проходящей через те же точки.
Решить уравнение $3\cos x\left| {3\sin x + \cos x} \right| = \sin x\left| {\cos x - 3\sin x} \right|$ .
Точки лежат на окружности радиуса с центром , а точка — на прямой, касающейся этой окружности в точке , причем $\angle AKC = 46^\circ$ , а длины отрезков образуют возрастающую геометрическую прогрессию (в указанном порядке). Найти угол $\angle AKO$ и расстояние между точками и . Какой из углов больше $\angle ACK$ или $\angle AOK$ ?
Найти наибольшее значение выражения $\sqrt {(x - 1)(y - x)} + \sqrt {(7 - y)(1 - x)} + \sqrt {(x - y)(y - 7)}$ при $x \in \left[ { - 2;3} \right]$ и $y \in \left[ {0;11} \right]$ .
Два конуса имеют общую вершину, и единственную общую образующую, которая составляет с их осями углы в $30^\circ$ и $45^\circ$ . Двугранный угол расположен так, что каждая его грань касается каждого из конусов по разным образующим. Найти величину этого угла.

Ответы

1977 год

$x \in ( - \infty ;1) \cup \{ 2\}$ .
$\left| {BC} \right| = 1$ , $\left| {AD} \right| = 7$ .
$\left\{ {x = \frac{{5\pi }}{{12}} + 2\pi \kappa ,\kappa \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
.
$\frac{\pi }{4}$ , $\frac{2}{{\sqrt 3 }}$ .

1997 год

$x = 2\pi n,\,\,\forall n \in \mathbb{Z}$ .
$x \in \left( { - 1,0} \right) \cup \left( {0,1} \right) \cup \left[ {5,\infty } \right)$ .
$\left( {1, - 1, - 1} \right)$ , $\left( { - 1,1, - 1} \right)$ .
9.
2.
$\sqrt {\frac{{11}}{{19}}}$ .

2007 год

.
$y = - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7}$ .
$x = \frac{\pi }{2} - \frac{1}{2}arcctg\frac{3}{5} + \pi n,n \in \mathbb{Z}$ .
$23^\circ$ , $4\sin 67^\circ$ , одинаковы.
.
$2\arccos (\sqrt 3 - 1)^{\frac{3}{2}}$ .

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке