Педагогический вестник

Владимир Игоревич АРНОЛЬД

Нужна ли в школе математика?
(тезисы выступления на Всероссийском совещании «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков» Дубна, сентябрь 2000 г.)

      Французского школьника спросили: «Сколько будет ?» Он ответил: «, так как сложение коммутативно» (а сосчитать, что это 5, не мог). Основываясь на этом примере, министр науки и образования Франции хотел изгнать из школы математику.

      Вот типичный пример задачи, с которой французские школьники легко справляются:
      «Доказать, что все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета».

      Вот образец решения:
      Обозначим через множество всех поездов системы на планете номер (считая от Солнца, если речь идет о солнечной системе). Согласно таблице, опубликованной CNRS там-то и тогда-то, планета Марс имеет в Солнечной системе номер 4. Множество пусто. Согласно теореме 999-в из курса анализа все элементы пустого множества обладают всеми наперед заданными свойствами. Следовательно, все поезда RER на планете Марс красно-синего цвета.

      Обучение математике, как своеобразной юридической казуистике, основанной на произвольно выбранных законах, начинается с самого раннего возраста: французских школьников учат, что любое вещественное число больше самого себя, что 0 — натуральное число, что все общее и абстрактное важнее частного, конкретного. Студент четвертого курса одного из лучших парижских университетов спросил меня на письменном экзамене по теории динамических систем: « больше или меньше единицы?»

      Вопрос об асимптотике решения дифференциального уравнения, который он решал, сводился к исследованию сходимости интеграла, зависящей от показателя в асимптотической формуле для подынтегральной функции. В результате сложных рассуждений и вычислений студент правильно вычислил нужный показатель. Но вот простым дробям его учил не я, и здесь он оказался беспомощным (пользоваться компьютером запрещалось). Разрезание яблока или пирога при обучении дробям заменили кольцом Гротендика.

      Спрашивать студентов-математиков парижской Эколь Нормаль, готовящей лучших французских ученых, как выглядит поверхность, заданная уравнением (или плоская кривая, заданная параметрически формулами , ) — безнадежно. Лет сто или двести назад этому учили, но теперь подобные вопросы вызывали такое же затруднение, как сложение дробей или однозначных чисел. А учебники, где этому учили, выбросили из студенческой библиотеки на свалку (видимо, в процессе американизации обучения).

      Вместо простых и фундаментальных основ науки, французских студентов быстро специализируют, так что они становятся экспертами в какой-то узкой области своей науки, не зная ничего другого.

      Уже Леонардо да Винчи отмечал, что любой тупица, занявшись исключительно одной узкой темой, поупражнявшись достаточно долго, достигнет в ней успеха. Он писал это в инструкции для художников, но сам занимался многими разными областями науки. Соседние разделы его записок содержали подробнейшие инструкции для подводных диверсантов (включающие как использование в подводных работах огня, так и рекомендации отравляющих веществ).

      Немного позже (в 1588 году) Монтень описал два основных принципа французской науки. Во-первых, надо писать так, чтобы никто не мог понять ни слова (иначе скажут, что все было известно раньше, и автор ничего не сделал). Во-вторых, вся терминология должна быть совершенно оригинальной, а ссылок на предшественников вообще не должно быть (особенно на предшественников-иностранцев).

      Недавно министерство образования, науки и технологии Франции пригласило меня поучаствовать в работе их комиссии по «защите наследства французской науки от иностранцев».

      Указанные Монтенем принципы вскоре после него детализировал Декарт, заложивший картезианские основы всей последующей науки Франции и систему образования.

Вот его основные идеи:

1. Не имеет никакого значения экспериментальная проверка первооснов науки — это просто произвольные утверждения, принимаемые без доказательства (аксиомы), верны они или нет — неважно.
2. Столь же малосущественно соответствие какой-либо реальности окончательных выводов теории — важно лишь дедуктивно-логически, без ошибок, выводить их из исходных аксиом, это и есть наука. Она подобна умножению многозначных чисел.
3. Чтобы превратить математику в науку, надо изгнать из геометрии чертежи — следы экспериментов, ненужных согласно первым двум принципам. Не надо размышлять над вещами, упражняющими воображение.
4. Основное преимущество нового метода в том, что, следуя этому методу дедукции, самые посредственные умы найдут те же истины, что и самые тонкие.

      Например, Декарт «обнаружил», что скорость света в воде на больше, чем в воздухе (в противоречии с принципом Ферма и с теорией огибающих волн Гюйгенса). Но на предшественников можно было не ссылаться.

      Когда Паскаль сообщил Декарту о своих работах по гидростатике и о барометрических измерениях, основанных на экспериментах с торричеллиевой пустотой, Декарт презрительно выгнал молодого экспериментатора за незнание аксиомы Аристотеля («природа не терпит пустоты») и за нарушение двух своих первых (антиэкспериментальных) принципов. Он написал по этому поводу президенту Академии наук Гюйгенсу: «лично я нигде в природе пустоты не вижу, разве в голове у Паскаля». Через полгода теория Паскаля стала общепринятой, и Декарт уже говорил, что Паскаль приходил к нему рассказывать ее, но сам ничего тогда не понимал; а теперь, когда он, Декарт, все ему объяснил, Паскаль рассказывает как свою, его, Декартову, теорию.

      Интересно, что отношение Леонардо да Винчи к эксперименту было совсем иным: в своих гидродинамических исследованиях (где уже анализируется даже турбулентность) он настаивает на необходимости в этой области руководствоваться прежде всего экспериментами, а только потом рассуждениями. Вслед за чем он обсуждает законы подобия и автомодельности.

      Точки зрения современных математиков на природу своей науки отражены в недавно вышедшей книге, изданной Международным математическим союзом в 2000 году «Математика: границы и перспективы». Один из самых знаменитых математиков объясняет там: математика — это раздел филологии, основанный на своеобразной грамматике (в которой, например , что составляет теорему 110.643 в «Принципах математики» Рассела и Уайтхеда — неудивительно, что французские школьники так далеко не забираются в дебри математики).

      Далее, автор утверждает, что профессия математика позволяет выдавать за новые открытия результаты тождественных преобразований исходных аксиом, в которых все эти «открытия» уже заключались.

      Окончательный же его вывод таков: математика — чрезвычайно полезная наука, ибо она дает наибольший вклад в решение общей проблемы всех наук: эта проблема состоит вовсе не в том, чтобы способствовать так называемому «прогрессу» постиндустриального человечества, а в том, чтобы всемерно этому прогрессу препятствовать. Если бы умники занимались усовершенствованием самолетов и автомобилей, то они принесли бы условиям жизни человечества куда больше вреда, чем теперь, когда они доказывают теорему Ферма и отвлечены математикой от действительно опасных занятий.

      Там можно прочесть и другие высказывания: например, один из крупнейших математиков Франции двадцатого века заявляет, что математика не имеет к физике никакого отношения. В то же время Гильберт еще в 1930 году утверждал, что геометрия — часть физики. Друзья объяснили мне, что противоречие в высказываниях этих двух великих математиков — лишь кажущееся: все объясняется тем, что для французского математика геометрия в математику не включается (здесь она и изгнана, в соответствии с идеями Декарта, из школьного образования).

      Впрочем, и в американский школьный тест десятилетиями входила задача: найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 дюймов и опущенной на нее высотой длиной 6 дюймов. Да минет нас чаша сия.

      Вот еще несколько цитат из старых источников, поясняющих, как сложилась нынешняя грустная ситуация в области образования и нынешняя безграмотность населения.

1. Руссо в «Исповеди» писал, что не верил доказанной им самим формуле «квадрат суммы равен сумме квадратов слагаемых с их удвоенным произведением» до тех пор, пока не нарисовал соответствующее разбиение квадрата на четыре прямоугольника.
2. Лейбниц объяснял королеве Софии-Шарлотте, желая спасти ее от влияния безбожника Ньютона, что существование Бога легче всего доказывается наблюдением нашего собственного сознания. Ибо если бы наши знания происходили только от внешних событий, то мы никогда не смогли бы узнать универсальные и абсолютно необходимые истины. То, что мы их знаем — и этим выделены среди животных — доказывает, по мнению Лейбница, наше божественное происхождение.

      Реформируя школьное образование, французы писали в 1880 г.: каждая вещь стоит столько, за сколько ее продают. Какая же будет цена вашему бесплатному образованию?

      Абель жаловался в 1820 г., что французские математики хотят только учить, но ничему не желают учиться. Позже они презрительно писали, что этот бедняк (сочинения которого Академия Наук потеряла) «возвращался из Парижа в свою часть Сибири, называемую Норвегией, пешком по льду».

      Школьное обучение Абеля начал его отец, учивший сына, в частности, что . Французы и сейчас учат своих школьников и студентов, что каждое вещественное число больше самого себя и что 0 — натуральное число (согласно Бурбаки и Лейбницу, все общие понятия важнее частных). Бальзак упоминает «длинный и очень узкий квадрат».

      Согласно Марату, «лучшие из математиков — Лаплас, Монж и Кузен: своего рода автоматы, привыкшие следовать определенным формулам, применяя их вслепую». Впрочем, позже Наполеон сменил Лапласа на посту министра внутренних дел «за попытку ввести в администрирование дух бесконечно-малых» (я думаю, что Лаплас желал, чтобы счета сходились до копейки).

      Американский президент Тафт заявил в 1912 году, что сферический треугольник с вершинами в Северном полюсе, в Южном полюсе и на Панамском канале равносторонний. Поскольку в вершинах развеваются американские флаги, он считал «все полушарие, охваченное этим треугольником», своим.

      А.Дюма-сын упоминает «странную архитектуру» домов, состоящих «наполовину из штукатурки, наполовину из кирпичей, наполовину из дерева» (1856). Впрочем, Парижская газета писала в 1911 году, что «пятая симфония Малера длится час с четвертью без перерыва, так что на третьей минуте слушатели смотрят на часы и говорят себе: еще сто двенадцать минут!» Наверное, так и было.

      Следующая история связана с Дубной. Два года назад Академия Линчей [Слово «Линчей» означает «Рысей»: предполагалось, что участники обладают рысьей зоркостью и проницательностью. Галилей, помнится, расписался в толстенном фолианте, где регистрируются члены Академии Линчеи, шестым (номер Ньютона в фолианте Лондонского Королевского Общества гораздо больше).] в Риме отмечала память Бруно Понтекорво, жившего с 1950 года до своей смерти в 1996 г. то в Москве, то в Дубне. Лет за тридцать до смерти он рассказывал, что однажды заблудился (в окрестностях Дубны?) и добрался до дому, только подъехав на тракторе. Тракторист, желая быть любезным, спросил: «А чем вы там в Институте в Дубне занимаетесь?» Понтекорво честно ответил «нейтринной физикой».

      Тракторист был очень доволен беседой, но заметил, похвалив русский язык иностранца: «Все же у Вас сохраняется некоторый акцент: физика не нейтринная, а нейтронная!»

      Рассказывая в Италии эту историю, Понтекорво добавил: «Я надеюсь дожить до того времени, когда уже никто не будет путать нейтрино с нейтронами!»

      Докладчик в Академии Линчеи, в Трудах которой я прочел все вышеизложенное происшествие, комментирует это так: «Сейчас мы можем уже сказать, что предвидение Понтекорво исполнилось: теперь уже никто не знает не только что такое нейтрино, но и что такое нейтрон!»

      Цитируется по http://vivovoco.nns.ru/