Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2003 года

Единый государственный экзамен по математике, 2003 год

Часть A

A1. Упростите выражение $(\cos x - \sin x)^2 + 2\sin x \cdot \cos x$ .

$1 - 2\sin 2x$

$\cos 2x + \sin 2x$

A2. Упростите выражение $b^{ - \frac{1}{3}}:b^{\frac{2}{9}}$ .

$b^{ - \frac{1}{9}}$

$b^{ - \frac{3}{2}}$

$b^{\frac{1}{9}}$

$b^{ - \frac{5}{9}}$

A3. Вычислите: $- \sqrt[5]{{0,016}} \cdot \sqrt[5]{{ - 0,02}}$ .

A4. Найдите значение выражения $\log _3 9a$ , если $\log _3 a = \frac{3}{{10}}$ .

A5. Найдите все решения уравнения $3\sin x + 1 + {\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 x = \frac{1}{{\sin ^2 x}} + 3$ .

1.	$\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	2.	$\frac{\pi }{2} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$
3.	$( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	4.	$\frac{\pi }{2} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $2 - \log _4 (x + 3) = \log _4 (x + 3)$ .

$( - 6;\, - 4)$

$( - 4;\, - 3)$

$( - 3;\,4)$

$(4;\,6)$

A7. Решите неравенство $5^{3,5 + x} \ge \frac{1}{{125}}$ .

$\left[ {\frac{1}{2};\, + \infty } \right)$

$\left( { - \infty ;\, - \frac{{13}}{2}} \right]$

$( - \infty ;\,7]$

$\left[ { - \frac{{13}}{2};\, + \infty } \right)$

A8. Решите неравенство $\frac{{2x + 14}}{{(x + 4)(x - 7)}} \ge 0$ .

1.	$( - 7;\, - 4) \cup (7;\, + \infty )$	2.	$[ - 7;\, - 4) \cup (7;\, + \infty )$
3.	$( - \infty ;\, - 7] \cup ( - 4;\,7)$	4.	$( - \infty ;\, - 4) \cup [7;\, + \infty )$

A9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения $x - \sqrt {2x^2 - 9x + 5} = 3$ .

$( - \infty ;\,1]$

$(1;\,2]$

$(2;\,5]$

$(5;\, + \infty )$

A10. Функция задана графиком. Укажите область определения этой функции.

1.	$[ - 5;\, - 1) \cup (3;\,4)$
2.	$( - 5;\,4)$
3.	$[ - 1;\,3]$
4.	$( - 1;\,3)$

A11. Найдите область определения функции $y = \log _\pi (3x^2 - 4x)$ .

1.	$\left( {0;\,\frac{3}{4}} \right)$	2.	$( - \infty ;\,0) \cup \left( {\frac{4}{3};\, + \infty } \right)$
3.	$\left[ {0;\,\frac{4}{3}} \right]$	4.	$( - \infty ;\,0] \cup \left( {\,\frac{4}{3};\, + \infty } \right)$

A12. Найдите множество значений функции $y = - 4 - \sin x$ .

$[ - 3;\,0]$

$[ - 4;\,4]$

$[ - 5;\, - 3]$

$( - \infty ;\, + \infty )$

A13. Укажите график функции, заданной формулой $y = \log _{\frac{1}{2}} (x + 2)$ .

1.		2.
3.		4.

A14. Найдите производную функции $h(x) = x^4 + \sin x$ .

1.	$h'(x) = x^3 + \cos x$	2.	$h'(x) = \frac{{x^5 }}{5} + \cos x$
3.	$h'(x) = 4x^3 + \cos x$	4.	$h'(x) = 4x^3 - \cos x$

A15. Для функции f(x) = 2e^x укажите первообразную , график которой проходит через точку $M(0;\,24)$ .

1.		2.
3.		4.	$F(x) = 2x \cdot e^x + 24$

A16. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $f(x) = 4x - 3\ln x$ в его точке с абсциссой x_0 = 3 .

Часть B

B1. Пусть $(x_0 ;\,y_0 )$ — решение системы уравнений $\left\{ \begin{array}{l} y = \sqrt {x^2 - 8x + 16} - 1, \\ 3x - y = 1. \\\end{array} \right.$ Найдите разность x_0 - y_0 .

B2. На рисунке изображен график производной функции y = f'(x) , заданной на отрезке $[ - 6;\,6]$ . Исследуйте функцию y = f(x) на монотонность и укажите в ответе число промежутков убывания.

B3. Найдите значение выражения $\left( {2\log _{25} \frac{8}{5} - \log _5 8 + 3} \right) \cdot 6^{2\log _6 3}$ .

B4. Найдите наименьшее целое значение функции $y = \frac{5}{3}\sqrt {5\cos ^2 x - 4\sin ^2 x + 20}$ .

B5. Определите число корней уравнения ${\mathop{\rm tg}\nolimits} x \cdot \cos x = \sin x + \cos 3x$ на отрезке $[0;\,2\pi ]$ .

B6. Найдите все значения , при которых функция $y = \sqrt[9]{{5x^2 - (2 - a)x + 2 - 4a}}$ имеет минимум в точке $x_0 = \frac{1}{2}$ .

B7. За год стипендия студента увеличилась на $32\%$ . В первом полугодии стипендия увеличилась на $10\%$ . Определите, на сколько процентов увеличилась стипендия во втором полугодии.

B8. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен , а сумма первых сорока восьми членов равна . Найдите сумму третьего, одиннадцатого и двадцатого членов этой прогрессии.

B9. Основание пирамиды MABC — треугольник ABC , в котором AB = BC , $AC = \sqrt {15}$ , $\angle ABC = 120^\circ$ . Боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите объем пирамиды, если $AM = \sqrt {53}$ .

B10. В треугольнике BCE медиана равна 3, $CE = 4\sqrt 2$ , BE = 5 . Найдите сторону .

Часть C

C1. Решите уравнение $\sqrt {25 - \frac{{11}}{{\log & _x 10}}} = 10 \cdot \lg \left( {10^{\frac{2}{5}} \cdot \left( {\frac{x}{{10}}} \right)^{ - 0,1} } \right)$ .

C2. Найдите все значения , при которых уравнение $5 - 3\cos x = p \cdot (1 + {\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2 x)$ имеет хотя бы один корень.

C3. В правильную треугольную призму, площадь боковой поверхности которой равна , вписан цилиндр. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно $3\sqrt 3$ . Найдите объем цилиндра.

C4. Найдите все значения , при которых область определения функции

$y = \log _7 ((\sqrt a )^{2x + 10} + (x^2 \cdot \sqrt x )^2 \cdot a^4 - x^{5 + x\log _x a} - (a^3 )^{\log _2 8} )$

содержит ровно три натуральных числа.

Ответы к заданиям

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10	A11	A12	A13	A14	A15	A16
1	4	1	2	4	3	4	2	3	2	2	3	4	3	2	3

B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9	B10

C1	C2	C3	C4
$\left \{ \frac{1}{10} \right \}$	$p \in (0;\,8]$	$10\pi$	$a \in (7;\,8]$

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке