Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2002 года

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год

Часть A

A1. Упростите выражение $\frac{{\sqrt[4]{{32}}}}{{\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{{64}}}}$ .

$8 \cdot \sqrt[4]{2}$

$\sqrt[4]{8}$

$\frac{1}{{\sqrt[4]{8}}}$

A2. Найдите значение выражения $\frac{{x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} }}{{x^{\frac{1}{4}} + y^{\frac{1}{4}} }} + \frac{{x^{\frac{1}{4}} \cdot y^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{2}} }}{{x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}} }}$ , если x = 81 , y = 16 .

A3. Упростите выражение $\lg \sqrt {500} - \lg \sqrt {125}$ .

$\lg 2$

$\frac{1}{2}$

$3\lg 5 + 1$

A4. Упростите выражение $\cos 2\alpha \cdot \cos \alpha - \sin 2\alpha \cdot \sin \alpha + \sin (\alpha - 6\pi )$ .

$\cos 3\alpha + \sin \alpha$

$2\sin \alpha$

$\cos 3\alpha - \sin \alpha$

A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $9^{\frac{{5x}}{2} - 2} = \frac{1}{{27}}$ .

$[ - 2;\, - 1)$

$[ - 1;\,0)$

$[1;\,2)$

$[0;\,1)$

A6. Решите неравенство $\log _5 \left( {\frac{9}{5} - \frac{x}{5}} \right) \ge - 1$ .

$( - \infty ;\,9)$

$( - \infty ;\,8]$

$[8;\, + \infty )$

$[8;\,9]$

A7. Найдите область определения функции $y = \sqrt {1 - \left( {\frac{1}{4}} \right)^{1 - 3x} }$ .

$\left[ {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)$

$\left( { - \infty ;\,\frac{1}{3}} \right)$

$\left( { - \infty ;\,\frac{1}{3}} \right]$

$( - \infty ;\,3]$

A8. Найдите область значений функции $y = \sin 2x$ .

$[ - 1;\,1]$

$[ - 2;\,2]$

$[0;\,2]$

$[ - 2;\,0]$

A9. Укажите график четной функции.

1. 2.

3. 4.

A10. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = 2 + x - 2x^4 через его точку с абсциссой x_0 = 1 .

A11. Найдите значение производной функции $y = x^2 \cdot e^x$ в точке x_0 = 1 .

A12. Укажите первообразную функции $f(x) = \sin x + \cos x$ .

1.	$F(x) = \cos x - \sin x$	2.	$F(x) = - \cos x + \sin x$
3.	$F(x) = \cos x + \sin x$	4.	$F(x) = - (\cos x + \sin x)$

A13. Решите уравнение $10\cos ^2 x + 3\cos x + 1 = 0$ .

1.	$\pm \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	2.	$\pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$
3.	$\pi + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	4.	Решений нет

Часть B

B1. Найдите минимум функции $y = 4\frac{1}{{12}} + 2x + \frac{{x^2 }}{2} - \frac{{2x^3 }}{3} - \frac{{x^4 }}{4}$ .

B2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3\sqrt x$ и $y = \frac{3}{2}x$ .

B3. Сколько корней имеет уравнение $(\sin 3x \cdot \cos x - \sin x \cdot \cos 3x) \cdot \sqrt {5x - x^2 } = 0$ ?

B4. При каком наименьшем натуральном значении функция $f(x) = - x^2 e^x - \frac{1}{{10}}m^2 e^x + 7$ убывает на всей числовой прямой?

B5. Пусть $(x_0 ;\,y_0 )$ — решение системы уравнений $\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{1}{y}, \\\arcsin (x^2 + y^2 ) = \frac{\pi }{2}. \\\end{array} \right.$ Вычислите значение суммы x_0 + y_0 .

B6. Найдите значение выражения $\sqrt {15} {\mathop{\rm tg}\nolimits} \left( {\arcsin \frac{1}{4}} \right)$ .

B7. Найдите наименьшее значение функции $g(x) = \log _{\frac{1}{3}} (6x - x^2 )$ .

B8. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой , равной , проведена медиана . Окружность, вписанная в треугольник ABM , касается медианы в точке . Найдите катет , если $\frac{{BP}}{{PM}} = \frac{3}{2}$ .

B9. Основание пирамиды — квадрат со стороной $6\sqrt 2$ . Косинус угла наклона каждого бокового ребра к плоскости основания равен $\frac{3}{5}$ . Найдите объем пирамиды.

Часть C

C1. Решите уравнение $2^{5x + 18} \cdot 3^{4x + 11} \cdot 7^{3x + 4} = 504^{x + 7}$ .

C2. Найдите множество значений функции $y = \cos 2x$ , заданной на отрезке $\left[ { - \arccos \frac{2}{5};\,\arccos \frac{2}{5}} \right]$ .

C3. При каких значениях сумма $\log _a (\sin x + 2)$ и $\log _a (\sin x + 3)$ равна единице хотя бы при одном значении ?

Ответы к заданиям

A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10	A11	A12	A13
4	3	1	1	4	2	3	1	1	2	4	2	4

B1	B2	B3	B4	B5	B6	B7	B8	B9

C1	C2	C3
$\left \{ \frac{3}{2} \right \}$	$[-0,68;\,1]$	$a \in [2;\,12]$

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке