Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2005 года

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год

Часть A

A1. Найдите значение выражения $\frac{{n^{\frac{3}{5}}}}{{n^{ - \frac{7}{5}} }}$ при n = 8 .

$8^{ - \frac{3}{7}}$

$8^{ - \frac{4}{5}}$

Решение. Частное от делении степеней с одинаковыми основаниями есть степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя:

$\frac{{n^{\frac{3}{5}} }}{{n^{ - \frac{7}{5}} }} = n^{\frac{3}{5} + \frac{7}{5}} = n^2$ .

При n = 8 , получим: n^2 = 8^2 = 64 .
Правильный ответ: 2.

A2. Упростите выражение $\sqrt[7]{{2^{14} q^{14} }}$ .

$2^{21} q^{21}$

$2^{98} q^{98}$

Решение. Поскольку $\sqrt[7]{{ab}} = \sqrt[7]{a}\sqrt[7]{b}$ , получаем:

$\sqrt[7]{{2^{14} q^{14} }} = \sqrt[7]{{2^{14} }}\sqrt[7]{{q^{14}}} = 2^2 q^2$ .

Правильный ответ: 4.

A3. Вычислите значение выражения $\log_5(5ab)$ , если $\log _5 (ab) = 0,7$ .

Решение. Используя формулу преобразования логарифма произведения в сумму логарифмов, имеем

$\log _5 (5ab) = \log _5 5 + \log _5 (ab) = 1 + 0,7 = 1,7$ .

Правильный ответ: 1.

A4. Упростите выражение $\sin \frac{{7\alpha }}{2}\sin \frac{{5\alpha }}{2} + \cos \alpha - \cos \frac{{7\alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha }}{2}$ .

$\cos \alpha + \cos 6\alpha$

$2\cos \alpha$

$\cos \alpha - \cos 6\alpha$

Решение. Используя формулу $\cos (x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y$ , получим:

$\sin \frac{{7\alpha }}{2}\sin \frac{{5\alpha }}{2} + \cos \alpha - \cos \frac{{7\alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha }}{2} = \cos \alpha - \cos \left( {\frac{{7\alpha }}{2} + \frac{{5\alpha }}{2}} \right) = \cos \alpha - \cos 6\alpha$ .

Правильный ответ: 4.

A5. Найдите производную функции $y = - \frac{7}{6}x^6 + 5x^4 - 14$ .

1.		2.	$y' = - \frac{1}{6}x^7 + x^5 - 14x$
3.		4.

Решение. Используя формулу $(x^n )' = nx^{n - 1}$ и правила дифференцирования, получим:

Правильный ответ: 3.

A6. На каком из следующих рисунков функция, заданная графиком, убывает на промежутке $[0;\,3]$ ?

1.		2.
3.		4.

Решение. Функция, график которой изображен на рисунке 1, убывает на отрезке $[0;\,3]$ ; функция, график которой изображен на рисунке 2, не является монотонной на отрезке $[0;\,3]$ ; функция, график которой изображен на рисунке 3, возрастает на отрезке $[0;\,3]$ ; функция, график которой изображен на рисунке 4, не является монотонной на отрезке $[0;\,3]$ .
Правильный ответ: 1.

A7. Найдите множество значений функции $y = 7 + \cos x$ .

$[6;\,8]$

$[7;\,8]$

$( - \infty ;\, + \infty )$

$[ - 1;\,1]$

Решение. В силу ограниченности функции косинус и свойств неравенств имеем:

$- 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 6 \le 7 + \cos x \le 8$ .

Правильный ответ: 1.

A8. Решите уравнение $\cos x - 1 = 0$ .

$\frac{\pi }{2} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{\pi }{2} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

$\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

$2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

Решение. Последовательно получаем:

$\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

Правильный ответ: 4.

A9. Решите неравенство $\frac{{x + 11}}{{(x - 8)(3x + 2)}} \le 0$ .

$\left[ { - 11;\, - \frac{2}{3}} \right) \cup (8;\, + \infty )$

$( - \infty ;\, - 11]$

$( - \infty ;\,8)$

$( - \infty ;\, - 11] \cup \left( { - \frac{2}{3};\,8} \right)$

Решение. Решим неравенство $\frac{{x + 11}}{{(x - 8)(3x + 2)}} \le 0$ методом интервалов (см. рис.):

Правильный ответ: 4.

A10. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{{11}}{{2 + \log _3 x}}$ .

$(0;\,9) \cup (9;\, + \infty )$

$( - \infty ;\, - 11]$

$(0;\, + \infty )$

$\left( {0;\,\frac{1}{9}} \right) \cup \left( {\frac{1}{9};\, + \infty }\right)$

Решение. Область определения функции задается соотношением $2 + \log _3 x \ne 0$ . Тогда:

$2 + \log _3 x \ne 0 \Leftrightarrow \log _3 x \ne - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0, \\ x \ne 3^{ - 2} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x < \frac{1}{9}, \\ x > \frac{1}{9}. \\\end{array} \right.$

Правильный ответ: 4.

Часть B

B1. Решите уравнение $\sqrt {2x^2 + 2x - 3} + 1 = - x$ .
Решение. Используем теорему равносильности $\sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}f(x) = g^2 (x), \\g(x) \ge 0. \\\end{array} \right.$
В нашем случае:

$\sqrt {2x^2 + 2x - 3} + 1 = - x \Leftrightarrow \sqrt {2x^2 + 2x - 3} = - x - 1 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 1 \ge 0, \\2x^2 + 2x - 3 = ( - x - 1)^2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1, \\x^2 - 4 = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le - 1, \\\left[ \begin{array}{l}x = - 2, \\x = 2 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2$ .

Ответ: $\{ - 2\}$ .

B2. Решите уравнение $\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{2}x + 1} = 8$ .
Решение. Перейдем к одному основанию и воспользуемся монотонностью показательной функции:

$\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{2}x + 1} = 8 \Leftrightarrow (2^{ - 4} )^{\frac{1}{2}x + 1} = 2^3 \Leftrightarrow - 2x - 4 = 3 \Leftrightarrow x = - 3,5$ .

Ответ: $\{ - 3,5\}$ .

B3. Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t) = 7 + 5t - e^{4 - t}$ , где x(t) — координата точки в момент времени . Найдите скорость точки при t = 4 .
Решение. Скорость точки в момент времени равна $x'(t) = 5 + e^{4 - t}$ . При t = 4 получаем

$x'(4) = 5 + e^{4 - 4} = 5 + e^0 = 5 + 1 = 6$ .

Ответ: 6.

B4. Вычислите: $(11,2\sqrt[3]{{64\sqrt 8 }} - 3,2\sqrt {8\sqrt[3]{{64}}} )^{\frac{6}{{11}}}$ .
Решение. Применяя формулы $\sqrt[n]{{a^m }} = a^{\frac{m}{n}}$ , $a^n \cdot a^m = a^{m + n}$ , $(a^m )^n = a^{mn}$ , последовательно получаем:

$(11,2\sqrt[3]{{64\sqrt 8 }} - 3,2\sqrt {8\sqrt[3]{{64}}} )^{\frac{6}{{11}}} = (11,2(8^2 \cdot 8^{\frac{1}{2}} )^{\frac{1}{3}} - 3,2 \cdot (8 \cdot 8^{\frac{2}{3}} )^{\frac{1}{2}} )^{\frac{6}{{11}}} =$
$= (11,2 \cdot 8^{\left( {2 + \frac{1}{2}} \right) \cdot \frac{1}{3}} - 3,2 \cdot 8^{\left( {1 + \frac{2}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2}} )^{\frac{6}{{11}}} =$
$(11,2 \cdot 8^{\frac{5}{6}} - 3,2 \cdot 8^{\frac{5}{6}} )^{\frac{6}{{11}}} = (8 \cdot 8^{\frac{5}{6}} )^{\frac{6}{{11}}} = (8^{\frac{{11}}{6}} )^{\frac{6}{{11}}} = 8$ .

Ответ: 8.

B5. Найдите значение функции $y = \sqrt 3 \sin 2t + \sin \left( {\frac{{17\pi }}{2} - t} \right)$ в точке $t = \frac{{19\pi }}{3}$ .
Решение. Поскольку

$\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2} - t} \right) = \sin \left( {8\pi + \frac{\pi }{2} - t} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - t} \right) = \cos t$ ,

имеем:

$y = \sqrt 3 \sin 2t + \cos t$ .

Тогда

$y\left( {\frac{{19\pi }}{3}} \right) = \sqrt 3 \sin \frac{{38\pi }}{3} + \cos \frac{{19\pi }}{3} = \sqrt 3 \sin \left( {12\pi + \frac{{2\pi}}{3}} \right) + \cos \left( {6\pi + \frac{\pi }{3}} \right) =$
$= \sqrt 3 \sin \frac{{2\pi }}{3} + \cos \frac{\pi }{3} = \sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} = 2$ .

Ответ: 2.

B6. Функция y = f(x) определена на промежутке $( - 5;\,7)$ . График ее производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.
Решение. Интервалы убывания функции f(x) совпадают с интервалами, на которых ее производная отрицательна. Производная отрицательна на интервалах $(- 5;\, - 3)$ и $(2;\,6)$ , длины которых соответственно равны и . Наибольшая длина – .

Ответ: .

B7. Найдите наибольший корень уравнения $(3^{2,5 - 2x^2 } - \sqrt 3 ) \cdot \log _5 (3 - 10x) = 0$ .
Решение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Так как множитель $3^{2,5 - 2x^2 } - \sqrt 3$ определен при любых значениях , имеем:
а) $\log _5 (3 - 10x) = 0 \Leftrightarrow 3 - 10x = 1 \Leftrightarrow x = 0,2$ ;
б)

$\left\{ \begin{array}{l} 3^{2,5 - 2x^2 } - \sqrt 3 = 0 \\ 3 - 10x > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 3^{2,5 - 2x^2 } = 3^{0,5} \\ x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2,5 - 2x^2 = 0,5 \\ x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2 = 1 \\ x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1$ .

Больший корень исходного уравнения — число 0,2.
Ответ: 0,2.

B8. Найдите значение функции $y(x) = \frac{{g(x) + f(- x) + 2g( - x)}}{{5f(x)}}$ в точке x_0 , если известно, что функция y = f(x) четная, функция y =
g(x) нечетная, f(x_0 ) = 1 , g(x_0 ) = - 3 .
Решение. В силу четности имеем: f( - x_0 ) = f(x_0 ) = 1 . В силу нечетности y = g(x) имеем: g( - x_0 ) = - g(x_0 ) = 3 . Тогда

$y(x_0 ) = \frac{{g(x_0 ) + f( - x_0 ) + 2g( - x_0 )}}{{5f(x_0 )}} = \frac{{ - 3 + 1 + 2 \cdot 3}}{{5 \cdot 1}} = \frac{4}{5} = 0,8$ .

Ответ: 0,8.

B9. Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объемом 560 страниц. Один сотрудник, отдав второму 80 страниц рукописи, взял остальные себе. Второй выполнил свою работу за время, в 8 раз меньшее, чем первый свою. Сколько страниц рукописи первый сотрудник должен был сразу отдать второму (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Решение (1 способ). Если второй сотрудник выполнил свою работу за дней, то он редактировал по $\frac{{80}}{x}$ страниц в день, а первый — по $\frac{{560 - 80}}{{8x}} = \frac{{60}}{x}$ страниц в день. Поэтому первому сотруднику нужно было разделить 560 страниц в отношении $\frac{{60}}{x}:\frac{{80}}{x} = 3:4$ и отдать из них четыре части, т. е. $560 \cdot \frac{4}{{3 + 4}} = 320$ страниц, второму сотруднику.
Решение (2 способ). Второй сотрудник редактировал 80 страниц рукописи за время в восемь раз меньшее, чем первый 480 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время, в восемь раз меньшее, он должен был бы отредактировать 60 страниц. Значит, он работает со скоростью $\frac{{80}}{{60}} = \frac{4}{3}$ скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 4:3. Таким образом, первый сотрудник должен отдать второму $\frac{4}{7} \cdot 560 = 320$ страниц.
Ответ: 320.

B10. Через образующую цилиндра проведено сечение BCDE . Объем цилиндра равен $1440\pi$ , BE = 8 тангенс угла между прямой и плоскостью основания равен 1,25 . Найдите площадь осевого сечения.
Решение.
1. Имеем: $DE \bot CD$ , — наклонная, — ее проекция на плоскость основания, угол ECD — угол между прямой и плоскостью основания. Тогда, учитывая CD = BE = 8 , из прямоугольного треугольника ECD находим: $DE = CD \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle ECD = 8 \cdot 1,25 = 10$ .
2. Поскольку и , имеем: $\pi R^2 \cdot ED = 1440\pi$ , откуда R = 12 .
3. Пусть EDKM — осевое сечение цилиндра. Поскольку EDKM — прямоугольник и EM = 2R = 24 , имеем: $S_{EDKM} = DE \cdot EM = 10 \cdot 24 = 240$ .
Ответ: 240.

B11. Дан ромб ABCD с острым углом . Высота , проведенная к стороне , пересекает диагональ в точке . Найдите площадь треугольника CMH , если высота ромба равна , а площадь ромба равна .
Решение.
1. Найдем сторону ромба: $S_{{\rm{}}} = DC \cdot BH$ , откуда, $80 = DC \cdot 8$ , DC = 10 .
2. Из прямоугольного треугольника BCH находим $CH = \sqrt {BC^2 - BH^2 } = \sqrt {100 - 64} = 6$ .
3. В треугольнике BCH отрезок — биссектриса. Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}$ , откуда $\frac{{MH}}{{BH}} = \frac{3}{8}$ .

4. Отрезок – общая высота треугольников CMH и CBH , следовательно, отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований и :

$\frac{{S_{CMH} }}{{S_{CBH} }} = \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{3}{8}$ , откуда $S_{CMH} = \frac{3}{8}S_{BCH} = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH = \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 9$ .

Ответ: 9.

Часть C

C1. Найдите все значения , для которых точки графика функции $y = \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}}$ лежит ниже соответствующих точек графика функции $y = - \frac{3}{{12 - 4x}}$ .
Решение. Множество искомых значений совпадает со множеством решений неравенства $\frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} < - \frac{3}{{12 - 4x}}$ , решая которое, последовательно получаем:

$\frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} < - \frac{3}{{12 - 4x}} \Leftrightarrow \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} + \frac{3}{{12 - 4x}} < 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x) + 3}}{{12 - 4x}} < 0$ .

Решим последнее неравенство методом интервалов (на рисунке на первой оси отмечена область определения неравенства, задаваемая соотношениями 20 - 5x > 0 и $12 - 4x \ne 0$ , а на второй — корни числителя и знаменателя):

Ответ: $( - \infty ;\, - 21) \cup (3;\,4)$ .

C2. Решите уравнение $\sqrt {16 - 8x + x^2 } + \sqrt {4x^2 - 13x - 17} = x - 4$ .
Решение. Заметим, что $\sqrt {16 - 8x + x^2 } = \sqrt {(4 - x)^2 } = |4 - x|$ . Тогда:

$\sqrt {16 - 8x + x^2 } + \sqrt {4x^2 - 13x - 17} = x - 4 \Leftrightarrow |4 - x| + \sqrt {4x^2 - 13x - 17} = x - 4 \Leftrightarrow$

Поскольку правая часть полученного уравнения должна быть неотрицательна, имеем условие: $x - 4 \ge 0$ , откуда |4 - x| = x - 4 и уравнение принимает вид $\sqrt {4x^2 - 13x - 17} = 0$ , где $x \ge 4$ . (*)
Далее имеем:

$\sqrt {4x^2 - 13x - 17} = 0 \Leftrightarrow 4x^2 - 13x - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1, \\ x = \frac{{17}}{4}. \\\end{array} \right.$

Условию (*) отвечает число $\frac{{17}}{4}$ .
Ответ: $\left \{ \frac{{17}}{4} \right \}$

C3. Найдите все значения , при каждом из которых наибольшее из двух чисел $b = 9^a + 3^{2 + a} - 1$ и $c = 3^{2 - a} - 9^{ - a} - 5$ меньше 9.
Решение. Наибольшее из двух чисел меньше девяти тогда и только тогда, когда каждое из них меньше (если числа равны друг другу, наибольшим считается каждое из них).
Таким образом, имеем:

$\left\{ \begin{array}{l} 9^a + 3^{2 + a} - 1 < 9, \\ 3^{2 - a} - 9^{ - a} - 5 < 9 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9^a + 9 \cdot 3^a - 10 < 0, \\ 9^{ - a} + 9 \cdot 3^{ - a} - 14 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (3^a - 1)(3^a + 10) < 0, \\ (3^{ - a} - 2)(3^{ - a} - 7) > 0 \\\end{array} \right. \mathop \Leftrightarrow \limits_{3^a + 10 > 0} \left\{\begin{array}{l} 3^a - 1 < 0, \\(3^{ - a} - 2)(3^{ - a} - 7) > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^a < 1, \\\left[ \begin{array}{l}3^{ - a} < 2; \\3^{ - a} > 7 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{ - a} > 1, \\ \left[ \begin{array}{l} 3^{ - a} < 2; \\ 3^{ - a} > 7 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right.\mathop \Leftrightarrow \limits_{3 > 1} \left[\begin{array}{l} 1 < 3^{ - a} < 2; \\ 3^{ - a} > 7 \\\end{array} \right. \mathop \Leftrightarrow \limits_{3 > 1}$
$\mathop \Leftrightarrow \limits_{3 > 1} \left\{ \begin{array}{l} 1 < - a < \log _3 2, \\ - a > \log _3 7 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \log _3 2 < a < - 1, \\ a < - \log _3 7. \\\end{array} \right.$

Ответ: $a \in ( - \infty ;\, - \log _3 7) \cup ( - \log _3 2;\,0)$ .

C4. Отрезок , равный , – диаметр сферы. Точки и лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите площадь треугольника KLT , где и – середины ребер соответственно.
Решение. Примем треугольник LNP за основание пирамиды PNML , а отрезок – за основание треугольника LNP (см.рис). Тогда объем пирамиды PNML можно вычислить по формуле $V = {\textstyle{1 \over 3}} \cdot {\textstyle{1 \over 2}} \cdot PN \cdot h \cdot H =$ ${\textstyle{1 \over 3}}RhH$ , где – радиус данной сферы, – высота треугольника LNP , проведенная из вершины , – высота пирамиды PNML . Поскольку – диаметр данной сферы, а точка лежит на сфере, треугольник LNP – прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, радиус которой равен радиусу данной сферы. Следовательно, наибольшее значение высоты треугольника LNP равно . Плоскость LNP отсекает от данной сферы полусферу, следовательно, наибольшее расстояние от точек сферы до этой плоскости также равно радиусу сферы, откуда – наибольшее значение высоты пирамиды PNML . Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN прямоугольные, равнобедренные треугольники с общей гипотенузой , лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рис.).
Далее имеем:
1) Треугольники LON , LOP , LOM , POM , NOM равны по двум катетам.
2) Треугольники LMN и LMP – равносторонние треугольники со стороной $NL = PL = ON\sqrt 2 = 4\sqrt 2$ . Медианы и этих треугольников равны: $LK = LT = \frac{{PL\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6$ .
3) Поскольку – средняя линия треугольника PMN прямая параллельна прямой и $KT = \frac{1}{2}PN = R = 4$ . В свою очередь, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , значит, она перпендикулярна самой этой плоскости. Тогда прямая также перпендикулярна плоскости , а, значит, и прямой , лежащей в этой плоскости.
4) Треугольник KLT равнобедренный, и его высота является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника LOM , откуда $LD = \sqrt {LO^2 + OD^2 } = 2\sqrt 5$ .
Окончательно находим:

$S_{KLT} = \frac{1}{2}KT \cdot LD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt 5 = 4\sqrt 5$ .

Ответ: $4\sqrt 5$ .

C5. Даны два уравнения $\log _7 (x(12 + \sqrt { - p})) = p(p - 1) - 6x + 3$ и $2x - \frac{{25}}{x} = \frac{{x^2 - (5p - 3)x + 15}}{{x(p + 1)}}$ . Значение параметра выбирается так, что $p \le 0$ , $p \ne - 1$ и число различных корней первого уравнения в сумме с числом p + 5 дает число различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
Решение. Умножив обе части уравнения $2x - \frac{{25}}{x} = \frac{{x^2 - (5p - 3)x + 15}}{{x(p + 1)}}$ на общий знаменатель , получаем

$2x^2 (p + 1) - 25(p + 1) = x^2 - (5p - 3)x + 15 \Leftrightarrow (2p + 1)x^2 + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0$ .

По смыслу задачи – целое отрицательное число, отличное от минус единицы и, кроме того, x = 0 не является корнем уравнения (2p + 1)x^2 + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0 , следовательно, это уравнение равносильно данному уравнению.
Далее имеем:

$(2p + 1)x^2 + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (x + 5)((2p + 1)x - (5p + 8)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 5; \\ (2p + 1)x = 5p + 8. \\\end{array} \right.$

Таким образом, корнями рассматриваемого уравнения являются решения уравнения (2p + 1)x = 5p + 8 и число . Поскольку коэффициент при в уравнении отличен от нуля при всех допустимых значениях параметра , данное уравнение имеет единственное решение, не равное при целых значениях параметра . Поэтому число различных корней второго уравнения равно 2.
Рассмотрим теперь уравнение $\log _7 (x(12 + \sqrt { - p} )) = p(p - 1) - 6x + 3$ . Логарифмическая функция с основанием 7 – функция возрастающая и линейная функция $y = x(12 + \sqrt { - p})$ – возрастающая функция поскольку $(12 + \sqrt { - p} ) > 0$ , следовательно, сложная функция $y = \log _7 (x(12 + \sqrt { - p} ))$ – также возрастающая функция. С другой стороны, линейная функция y = p(p - 1) - 6x + 3 – убывающая функция, так как - 6 < 0 (см. рис). Таким образом, данное уравнение имеет не более одного корня. Ясно, что в нашем случае это корень есть.
По условию число различных корней первого уравнения в сумме с числом p + 5 дает число различных корней второго уравнения, тогда 1 + (p + 5) = 2 , откуда p = - 4 .
Первое уравнение при p = - 4 принимает вид $\log _7 14x = 23 - 6x$ . Подбором находим x = 3,5 . Как показано ранее, найденный корень единственный.
Ответ: $\{ 3,5\}$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке