На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2002 года


Единый государственный экзамен по математике, 2002 год

Скачать pdf-файл.

Часть A

A1. Найдите значение выражения \sqrt[6]{{3^7  \cdot 4^5 }}
\cdot \sqrt[6]{{3^5  \cdot 4}}.

1.
24
2.
6
3.
36
4.

4\sqrt 3

Решение. Пользуясь свойствами арифметического корня находим:

\sqrt[6]{{3^7  \cdot 4^5 }} \cdot \sqrt[6]{{3^5  \cdot 4}} =
\sqrt[6]{{3^7  \cdot 4^5  \cdot 3^5  \cdot 4}} = \sqrt[6]{{3^{12} 
\cdot 4^6 }} = \sqrt[6]{{(3^2  \cdot 4)^6 }} = 3^2  \cdot 4 = 36.

Правильный ответ: 3.

A2. Найдите значение выражения \frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y 
+ 4}} + \frac{{4\sqrt y }}{{y - 16}}, при y = 18.

1.

9(4 + 3\sqrt 2 )
2.

- \frac{1}{9}
3.
9
4.

4 + 3\sqrt 2

Решение. Заметим, что (\sqrt y  - 4)(\sqrt y  + 4) = y -
16. Тогда

\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y  + 4}} + \frac{{4\sqrt y }}{{y - 16}}
= \sqrt y \left( {\frac{1}{{\sqrt y  + 4}} + \frac{4}{{(\sqrt y  +
4)(\sqrt y  - 4)}}} \right) =

= \sqrt y  \cdot \frac{{\sqrt y  - 4 +
4}}{{(\sqrt y  + 4)(\sqrt y  - 4)}} = \frac{y}{{y - 16}}.

При y = 18 значение выражения равно \frac{{18}}{2} =
9.

Правильный ответ: 3.

A3. Укажите значение выражения 2\log _2 3 + \log _2
\frac{1}{3}.

1.

- 2
2.

2\log _2 3
3.
0
4.

\log _2 3

Решение. Используя формулы логарифма степени и логарифма произведения, находим:

2\log _2 3 + \log _2 \frac{1}{3} = \log _2 3^2  + \log _2
\frac{1}{3} = \log _2 \left( {3^2  \cdot \frac{1}{3}} \right) = \log _2
3.

Правильный ответ: 4.

A4. Упростите выражение \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left(
{\sin \frac{\alpha }{2} + \cos \frac{\alpha }{2}} \right)^2 .

1.
1
2.

\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }}
3.

\frac{1}{{1 + \sin \alpha }}
4.

1 + \sin \alpha

Решение. Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного аргумента, получаем:


\frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} + \cos
\frac{\alpha }{2}} \right)^2  = \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left(
{\sin ^2 \frac{\alpha }{2} + 2\sin \frac{\alpha }{2} \cdot \cos
\frac{\alpha }{2} + \cos ^2 \frac{\alpha }{2}} \right) =

 = \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {1 + 2\sin \frac{\alpha
}{2} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{1 + \sin \alpha
}}{{1 + \sin \alpha }} = 1.

Правильный ответ: 1.

A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{0,\!5 - 1}  = 9.

1.

[ - 2;\,\, - 1)
2.

[3;\,\,5)
3.

[1;\,\,3)
4.

[ - 1;\,\,1)

Решение. Перейдем к степени с основанием {\textstyle{1
\over 3}}:

\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{0,\!5 - 1}  = 9 \Leftrightarrow
\left( {\frac{1}{3}} \right)^{3(0,\!5 - 1)}  = \left( {\frac{1}{3}}
\right)^{ - 2}  \Leftrightarrow 3(0,\!5x - 1) =  - 2\;\; \Leftrightarrow
\frac{3}{2}x - 3 =  - 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 1
\Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.

Корень уравнения принадлежит промежутку [ - 1;\,\,1).

Правильный ответ: 4.

A6. Решите неравенство \log _{\frac{1}{9}} (6 - 0,\!3x) >  -
1.

1.

[ - 10;\,\, + \infty )
2.

( - \infty ;\,\, - 10)
3.

( - 10;\,\,20)
4.

( - 0,\!1;\,\,20)

Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, основание которой меньше единицы, получаем:


\log _{\frac{1}{9}} \left( {6 - \frac{3}{{10}}x} \right) >  - 1
\Leftrightarrow 0 < 6 - \frac{3}{{10}}x < \left( {\frac{1}{9}}
\right)^{ - 1}  \Leftrightarrow  - 6 <  - \frac{3}{{10}}x < 9 - 6
\Leftrightarrow

 \Leftrightarrow  - \frac{{10}}{3} \cdot 6 <  - x <
\frac{{10}}{3} \cdot 3 \Leftrightarrow  - 20 <  - x < 10
\Leftrightarrow 20 > x >  - 10 \Leftrightarrow  - 10 < x < 20.

Правильный ответ: 3.

A7. Найдите область определения функции y = \sqrt[4]{{1 -
7^{x^2 }  \cdot 49^x }}.

1.

[ - 2;\,\,2]
2.

[0;\,\,2]
3.

( - \infty ;\,\, - 2] \cup [0;\,\, + \infty )
4.

[ - 2;\,\,0]

Решение. Область определения функции задается неравенством 1 - 7^{x^2 }  \cdot 49^x  \ge 0. Решим его:

1 - 7^{x^2 }  \cdot 49^x  \ge 0 \Leftrightarrow 7^{x^2 }  \cdot
7^{2x}  \le 1 \Leftrightarrow 7^{x^2  + 2x}  \le 7^0 \mathop 
\Leftrightarrow \limits_{7 > 1} x^2  + 2x \le 0 \Leftrightarrow

\Leftrightarrow x(x + 2) \le 0 \Leftrightarrow \; - 2 \le x \le 0.

Правильный ответ: 4.

A8. Функция y = f(x) задана графиком на от­рез­ке [ - 5;\,\,3]. Укажите область ее значений.

1.

[ - 5;\,\,1]
2.

[1;\,\, - 2) \cup ( - 2;\,\, - 5]
3.

( - 2;\,\,1]
4.

[1;\,\, - 2]

Решение. Значение функции — ордината проекции точки ее графика на ось Oy. В нашем случае множество этих значений есть отрезок [ - 5;\,\,1].

Правильный ответ: 1.

A9. Найдите произведение корней уравнения \sin 2x =
x.

1.
0
2.

- \frac{{\pi ^2 }}{{36}}
3.

- \frac{{\pi ^2 }}{{16}}
4.
корней нет

Решение. Ясно, что число 0 — решение данного уравнения, следовательно, сколько бы корней не имело данное уравнение, произведение всех корней равно нулю.

Правильный ответ: 1.

A10. На рисунке изображен график функции y =
f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной в точке x_0 .

1.
- 2
2.
2
3.
3
4.
6


Решение. Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке, причем угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Найдем тангенс угла АСВ прямоугольного треугольника ABC (см. рис.): \mathop \tg \angle ACB = \frac{{AB}}{{BC}} =
\frac{6}{3} = 2. Тогда тангенс угла наклона касательной есть \mathop \tg (\pi  - \angle ACB) =  - \mathop \tg \angle ACB = - 2.

Правильный ответ: 1.

A11. Найдите значение производной функции y = x^2  + \sin
x в точке x_0  = \pi .

1.

\pi ^2  - 1
2.

2\pi  + 1
3.

2\pi
4.

2\pi  - 1

Решение. Используя формулы (x^n )' = nx^{n - 1} и (\sin x)' = \cos x, получим:

y' = 2x + \cos x;

y'(\pi ) = 2 \cdot \pi  + \cos \pi  = 2\pi  - 1.

Правильный ответ: 4.

A12. Укажите первообразную функции f(x) = x + \cos
x.

1.

F(x) = 2 - \cos x
2.

F(x) = \frac{{x^2 }}{2} - \sin x
3.

F(x) = x^2  + \cos x
4.

F(x) = \frac{{x^2 }}{2} + \sin x

Решение. Поскольку первообразной функции x^n является \frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}}, а первообразной функции \cos x является \sin x, получаем:

F(x) = \frac{1}{2}x^2  + \sin x + C (в нашем случае C =
0).

Правильный ответ: 4.

A13. Решите уравнение \sin ^2 x - \cos ^2 x =
\frac{1}{2}.

1.
корней нет
2.

\pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}
3.

\frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}
4.

\pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}

Решение. Используя формулу косинуса двойного аргумента, получаем:


\sin ^2 x - \cos ^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow  - \cos 2x =
\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k, \\
2x =  - \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z} \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{3} + \pi k, \\
x =  - \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}. \\
\end{array} \right.

Правильный ответ: 4.

Часть B

B1. Найдите максимум функции y = \frac{{x^3 }}{3} +
\frac{{x^2 }}{2} - 2x - 2\frac{1}{3}.

Решение. Найдем производную:

y' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2  + 2 \cdot \frac{1}{2}x - 2 = x^2  +
x - 2;

Найдем нули производной:


y' = 0 \Leftrightarrow x^2  + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[
\begin{array}{l}
x =  - 2, \\
x = 1. \\
\end{array} \right.

Знаки производной и промежутки монотонности функции показаны на рисунке. Функция имеет максимум в точке x =  - 2, следовательно,

y_{\max }  = y( - 2) = \frac{{( - 2)^3 }}{3} + \frac{{( - 2)^2
}}{2} - 2( - 2) - \frac{7}{3} = 6 - 5 = 1.

Ответ: 1.

B2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y
= x, y =  - x + 4\pi , y = \sin
\frac{x}{4}.

Решение. Построим эскизы графиков (см. рисунок). Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади треугольника ABC и площади фигуры, ограниченной графиком функции y = \sin
\frac{x}{4} и отрезком [0;\,\,4\pi ] оси абсцисс. Координаты точки пересечения графиков y =  - x + 4\pi и y = x находятся из условия  - x + 4\pi  = x, откуда x = 2\pi , y = 2\pi . Площадь треугольника ABC равна:

S_{ABC}  = \frac{1}{2}|AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4\pi 
\cdot 2\pi  = 4\pi ^2 .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y =
\sin \frac{x}{4} и отрезком [0;\,\,4\pi ] оси абсцисс равна:

S = \int\limits_0^{4\pi } {\sin \frac{x}{4}dx}  = \left. { -
4\cos \frac{x}{4}} \right|_{\,0}^{\,4\pi }  =  - 4(\cos \pi  - \cos 0)
= 8.

Таким образом, искомая площадь равна:

S = 4\pi ^2  - 8.

Ответ: 4\pi ^2  - 8.

B3. Сколько корней имеет уравнение \left( {\frac{1}{{\cos
^2 x}} - 1} \right)\sqrt {25 - x^2 }  = 0?

Решение. Произведение равно нулю, если какой-то из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Для нашего случая имеем:

либо а) \left\{ \begin{array}{l}
25 - x^2  \ge 0 \\
\frac{1}{{\cos ^2 x}} - 1 = 0 \\
\end{array} \right., либо б) \left\{ \begin{array}{l}
25 - x^2  = 0 \\
\cos x \ne 0 \\
\end{array} \right..

а) \left\{ \begin{array}{l}
25 - x^2  \ge 0 \\
\frac{1}{{\cos ^2 x}} - 1 = 0 \\
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \;\left\{
\begin{array}{l}
- 5 \le x \le 5 \\
\cos ^2 x = 1 \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
- 5 \le x \le 5 \\
x = \pi k,\;k \in \mathbb{Z} \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l}
x =  - \pi  \\
x = 0 \\
x = \pi  \\
\end{array} \right.

б) \left\{ \begin{array}{l}
25 - x^2  = 0 \\
\cos x \ne 0 \\
\end{array} \right.  \Leftrightarrow \;\left[
\begin{array}{l}
x =  - 5 \\
x = 5 \\
\end{array} \right.

Таким образом, данное уравнение имеет пять корней.

Ответ: 5.

B4. При каком наибольшем значении a функция f(x) = \frac{2}{3}x^3  - ax^2  + 7ax + 5 возрастает на всей числовой прямой?

Решение. Поскольку функция f(x) = \frac{2}{3}x^3  - ax^2 
+ 7ax + 5 дифференцируема на всей числовой прямой, она возрастает, если f'(x) > 0 при любом значении x, за исключением, может быть, «отдельных» точек, в которых f'(x) = 0.

f'(x) = 2x^2  - 2ax + 7a.

Чтобы f'(x) \ge 0 на всей числовой прямой, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трехчлена 2x^2  - 2ax + 7a был неположителен:

\frac{D}{4} \le 0 \Leftrightarrow a^2  - 14a \le 0
\Leftrightarrow a(a - 14) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le 14.

Ответ: 14.

B5. Пусть (x_0 ;\,\,y_0 ) — решение системы \left\{ \begin{array}{l}
y + 2 = \sqrt {x + 4} , \\
y + |x - 5| = 1. \\
\end{array} \right. Найдите отношение \frac{{x_0 }}{{y_0
}}.

Решение.

I способ.

\left\{ \begin{array}{l}
y + 2 = \sqrt {x + 4}  \\
y + |x - 5| = 1 \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
y + 2 = \sqrt {x + 4}  \\
y + 2 = 3 - |x - 5| \\
\end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 4}  = 3 - \,|x - 5| \\
y + |x - 5| = 1 \\
\end{array} \right.\;.

Решим первое уравнение системы:

а) \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 5 \\
\sqrt {x + 4}  = 8 - x \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
5 \le x \le 8 \\
x + 4 = 64 - 16x + x^2  \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
5 \le x \le 8 \\
x^2  - 17x + 60 = 0 \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;x = 5.

б) \left\{ \begin{array}{l}
- 4 \le x < 5 \\
\sqrt {x + 4}  = x - 2 \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
2 \le x < 5 \\
x + 4 = x^2  - 4x + 4 \\
\end{array} \right.\; \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}
2 \le x < 5 \\
x^2  - 5x = 0 \\
\end{array} \right.\; – система не имеет решений.

Подставляя найденное значение x во второе уравнение системы, получаем y = 1. Таким образом, пара (5; 1) – единственное решение данной системы, откуда искомое отношение равно 5.

II способ.

\left\{ \begin{array}{l}
y + 2 = \sqrt {x + 4} , \\
y + |x - 5| = 1 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 4}  = 3 - |x - 5|\,\, (*), \\
y = 1 - |x - 5|. \\
\end{array} \right.

Решим уравнение (*) с помощью графиков функций y = \sqrt {x + 4}
и y = 3 - \,\,|x - 5|. Проверка подтверждает, что «вершина» графика y = 3 - \,\,|x - 5| – точка (5;\,\,3) – принадлежит графику функции y =
\sqrt {x + 4} , следовательно, графики имеют ровно одну общую точку – (5;\,\,3). Отсюда следует, что x =
5 – единственное решение уравнения (*).

Далее получаем:


\left\{ \begin{array}{l}
x = 5, \\
y = 1 - |x - 5| \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5, \\
y = 1. \\
\end{array} \right.

Таким образом, искомое отношение равно 5.

Ответ: 5.

B6. Найдите значение выражения \arcsin \left( {\sin
\frac{\pi }{3}} \right) + \arcsin \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\right).

Решение. Поскольку \arcsin ( - x) =  - \arcsin (x), получаем:

\arcsin \left( {\sin \frac{\pi }{3}} \right) + \arcsin \left( { -
\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \arcsin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}
\right) - \arcsin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 0.

Ответ: 0.

B7. Найдите наименьшее значение функции g(x) = \log
_{\frac{1}{2}} (2 - x^2 ).

Решение. Поскольку \frac{1}{2} < 1, функции g(x) = \log _{\frac{1}{2}} (2 - x^2 ) принимает свое наименьшее значение в той точке, в которой функция f(x) = 2 - x^2
принимает свое наибольшее значение, т.е. в точке x =
0. Таким образом, наименьшее значение функции g(x) = \log
_{\frac{1}{2}} (2 - x^2 ) равно g(0) = \log _{\frac{1}{2}} 2
=  - 1.

Ответ:  - 1.

B8. В равнобедренный треугольник PMK с основанием MK вписана окружность с радиусом 2\sqrt 3 . Высота PH делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2, считая от вершины P. Найдите периметр треугольника PMK.

Решение.

I способ.

1. Поскольку PH делится точкой R пересечения с окружностью в отношении 1:2, имеем:

PR = \frac{1}{2}RH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r = r; откуда PO = PR + RO = 2r.

2. Проведем OL \bot PK, OL\,\, = r. Поскольку в прямоугольном треугольнике PLO катет OL равен половине гипотенузы PO, имеем \widehat{LPO} = 30^\circ
. Тогда \widehat{KPM} = 60^\circ и KPM – равносторонний треугольник. Тогда

KM\,\, = 2\sqrt 3 r = 2\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 3  = 12, откуда P_{KPM}  = 3 \cdot 12 = 36.

II способ.

1 Поскольку PH делится точкой R пересечения с окружностью в отношении 1:2, имеем:

PR\,\, = \frac{1}{2}RH\,\, = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r =
r; откуда PO\,\, = \,\,PR + RO\,\, = 2r и PO:OH =
2:1.

2. Так как PMK – равнобедренный треугольник, его высота PH является также и медианой, следовательно, точка О – точка пересечения медиан треугольника РМК. Но центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис. Поскольку точка пересечения медиан треугольника РМК и точка пересечения его биссектрис совпадают, треугольник KPM – равносторонний треугольник, откуда получаем

KM\,\, = 2\sqrt 3 r = 2\sqrt 3  \cdot 2\sqrt 3  = 12. P_{KPM}  = 3 \cdot 12 = 36.

Ответ: 36.

B9.  В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 12 и 5. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45^\circ . Найдите объем пирамиды.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке.

1. Заметим, что в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник (5^2  + 12^2  = 13^2 ), следовательно, его площадь S равна половине произведения катетов:

S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30.

2. Поскольку боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания – в середину O гипотенузы АВ.

3. Медиана СО прямоугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности – половине гипотенузы АВ.

4. Треугольник SOC прямоугольный и равнобедренный (\angle SCO = 45^\circ ), откуда

|SO|\,\, = \,\,|CO|\,\, = \,\,|OB|\,\, = \frac{{13}}{2}, V = \frac{1}{3}S_{ABC}  \cdot |SO|\,\, = \frac{1}{3} \cdot 30
\cdot \frac{{13}}{2} = 65.

Ответ: 65.

Часть C

C1. Решите уравнение 32^{x + 3}  \cdot 3^{3x + 1}  \cdot
625^{x + 2}  = 600^{x + 7} .

Решение.


32^{x + 3}  \cdot 3^{3x + 1}  \cdot 625^{x + 2}  = 600^{x + 7} 
\Leftrightarrow 2^{5(x + 3)}  \cdot 3^{3x + 1}  \cdot 5^{4(x + 2)}  =
2^{3(x + 7)}  \cdot 3^{x + 7}  \cdot 5^{2(x + 7)}  \Leftrightarrow

 \Leftrightarrow 2^{2x - 6}  \cdot 3^{2x - 6}  \cdot 5^{2x - 6} 
= 1 \Leftrightarrow 30^{2x - 6}  = 1 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0
\Leftrightarrow x = 3.

Ответ: \{ 3\} .

C2. Найдите множество значений функции y = \sin 2x, если x \in \left[ {\mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{\mathop \arctg 3} \right].

Решение.

1. Пусть 2x = t. Тогда множество значений функции y =
\sin 2x на отрезке \left[ {\mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{\mathop \arctg 3} \right]совпадает с множеством значений функции y = \sin t на отрезке \left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{2 \mathop \arctg 3} \right].

Так как y = \mathop \arctg x убывающая функция \mathop \arctg \frac{1}{2} < \mathop \arctg 1 = \frac{\pi }{4}, \mathop \arctg 3 > \mathop \arctg \sqrt 3  = \frac{\pi
}{3}, откуда 2 \mathop \arctg \frac{1}{2} <
\frac{\pi }{2}, 2 \mathop \arctg 3 > \frac{{2\pi }}{3}.

2. Изобразим отрезок \left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{2 \mathop \arctg 3} \right] на единичной окружности (см. рисунок).

Функция y = \sin t возрастает на отрезке \left[
{2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,\frac{\pi }{2}}
\right] и убывает на отрезке \left[ {\frac{\pi
}{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right], следовательно, свое наибольшее значение она принимает в точке x =
\frac{\pi }{2}, а наименьшее – на одном из концов отрезка \left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right].

3. Вычислим эти значения:

а) наибольшее значение функции: \sin \frac{\pi }{2} = 1;

б) поскольку \sin 2x = \frac{{2 \mathop \tg x}}{{1
+ \mathop \tg ^2 x}}, имеем

\sin (2 \mathop \arctg 3) = \frac{2 \mathop \tg (\mathop \arctg 3)}{1 + \mathop \tg ^2 (\mathop \arctg 3)}\,= \frac{{2 \cdot
3}}{{1 + 9}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}},

\sin (2 \mathop \arctg \frac{1}{2}) =
\frac{2 \mathop \tg (\mathop \arctg \frac{1}{2})}{1 + \mathop \tg ^2 (\mathop \arctg \frac{1}{2})}\,= \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} = \frac{{10}}{{15}}.

Таким образом, \sin (2 \mathop \arctg 3) < \sin
(2 \mathop \arctg \frac{1}{2}), откуда 0,6 – наименьшее значение функции.

Поскольку функция y = \sin t непрерывна на отрезке \left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right], множество ее значений есть отрезок \left[ {\sin (2 \mathop \arctg 3);\;\sin \frac{\pi }{2}} \right], т.е. отрезок [0,\!6;\;1].

.

Ответ: [0,\!6;\;1].

C3. При каких значениях a сумма \log _a (\cos
^2 x + 1) и \log _a (\cos ^2 x + 5) равна 1 хотя бы при одном значении x?

Решение.

Требуется найти значения параметра a такие, что уравнение \log _a (\cos ^2 x + 1) + \log _a (\cos ^2 x + 5) = 1 имеет хотя бы одно решение. Поскольку \cos ^2 x + 1 > 0 и \cos ^2 x + 1 > 0, имеем


\log _a (\cos ^2 x + 1) + \log _a (\cos ^2 x + 5) = 1 \Leftrightarrow
\log _a ((\cos ^2 x + 1)(\cos ^2 x + 5)) = 1 \Leftrightarrow


\Leftrightarrow \log _a (\cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5) = 1
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < a \ne 1, \\
\cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5 = a. \\
\end{array} \right.

      Уравнение \cos ^4 x + 6\cos
^2 x + 5 = a имеет решения, если a принадлежит множеству значений функции f(x) = \cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5, совпадающему со множеством значений функции g(t) = t^2  + 6t
+ 5 на отрезке [0;\,\,1].

Поскольку абсцисса вершины t_0  =  - 3 параболы g(t) =
t^2  + 6t + 5 меньше нуля, функция g(t) = t^2  + 6t +
5 возрастает на отрезке [0;\,\,1] и множество ее значений на этом отрезке есть отрезок [g(0);\;g(1)], т.е. отрезок [5;\,\,12]. Таким образом, искомыми значениями параметра являются все числа a, такие, что 5 \le a \le
12.

Ответ: [5;\,\,12].



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке