Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2002 года

Единый государственный экзамен по математике, 2002 год

Часть A

A1. Найдите значение выражения $\sqrt[6]{{3^7 \cdot 4^5 }} \cdot \sqrt[6]{{3^5 \cdot 4}}$ .

1. 24
2. 6
3. 36
4. $4\sqrt 3$

Решение. Пользуясь свойствами арифметического корня находим:

$\sqrt[6]{{3^7 \cdot 4^5 }} \cdot \sqrt[6]{{3^5 \cdot 4}} = \sqrt[6]{{3^7 \cdot 4^5 \cdot 3^5 \cdot 4}} = \sqrt[6]{{3^{12} \cdot 4^6 }} = \sqrt[6]{{(3^2 \cdot 4)^6 }} = 3^2 \cdot 4 = 36$ .

Правильный ответ: 3.

A2. Найдите значение выражения $\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y + 4}} + \frac{{4\sqrt y }}{{y - 16}}$ , при y = 18 .

1. $9(4 + 3\sqrt 2 )$
2. $- \frac{1}{9}$
3. 9
4. $4 + 3\sqrt 2$

Решение. Заметим, что $(\sqrt y - 4)(\sqrt y + 4) = y - 16$ . Тогда

$\frac{{\sqrt y }}{{\sqrt y + 4}} + \frac{{4\sqrt y }}{{y - 16}} = \sqrt y \left( {\frac{1}{{\sqrt y + 4}} + \frac{4}{{(\sqrt y + 4)(\sqrt y - 4)}}} \right) =$

$= \sqrt y \cdot \frac{{\sqrt y - 4 + 4}}{{(\sqrt y + 4)(\sqrt y - 4)}} = \frac{y}{{y - 16}}$ .

При y = 18 значение выражения равно $\frac{{18}}{2} = 9$ .

Правильный ответ: 3.

A3. Укажите значение выражения $2\log _2 3 + \log _2 \frac{1}{3}$ .

1.
2. $2\log _2 3$
3. 0
4. $\log _2 3$

Решение. Используя формулы логарифма степени и логарифма произведения, находим:

$2\log _2 3 + \log _2 \frac{1}{3} = \log _2 3^2 + \log _2 \frac{1}{3} = \log _2 \left( {3^2 \cdot \frac{1}{3}} \right) = \log _2 3$ .

Правильный ответ: 4.

A4. Упростите выражение $\frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} + \cos \frac{\alpha }{2}} \right)^2$ .

1. 1
2. $\frac{{1 + \cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }}$
3. $\frac{1}{{1 + \sin \alpha }}$
4. $1 + \sin \alpha$

Решение. Применяя основное тригонометрическое тождество и формулу синуса двойного аргумента, получаем:

$\frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {\sin \frac{\alpha }{2} + \cos \frac{\alpha }{2}} \right)^2 = \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {\sin ^2 \frac{\alpha }{2} + 2\sin \frac{\alpha }{2} \cdot \cos \frac{\alpha }{2} + \cos ^2 \frac{\alpha }{2}} \right) =$

$= \frac{1}{{1 + \sin \alpha }}\left( {1 + 2\sin \frac{\alpha }{2} \cdot \cos \frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{1 + \sin \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} = 1$ .

Правильный ответ: 1.

A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения $\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{0,\!5 - 1} = 9$ .

1. $[ - 2;\,\, - 1)$
2. $[3;\,\,5)$
3. $[1;\,\,3)$
4. $[ - 1;\,\,1)$

Решение. Перейдем к степени с основанием ${\textstyle{1 \over 3}}$ :

$\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{0,\!5 - 1} = 9 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{3}} \right)^{3(0,\!5 - 1)} = \left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2} \Leftrightarrow 3(0,\!5x - 1) = - 2\;\; \Leftrightarrow$ $\frac{3}{2}x - 3 = - 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$ .

Корень уравнения принадлежит промежутку $[ - 1;\,\,1)$ .

Правильный ответ: 4.

A6. Решите неравенство $\log _{\frac{1}{9}} (6 - 0,\!3x) > - 1$ .

1. $[ - 10;\,\, + \infty )$
2. $( - \infty ;\,\, - 10)$
3. $( - 10;\,\,20)$
4. $( - 0,\!1;\,\,20)$

Решение. Пользуясь свойством логарифмической функции, основание которой меньше единицы, получаем:

$\log _{\frac{1}{9}} \left( {6 - \frac{3}{{10}}x} \right) > - 1 \Leftrightarrow 0 < 6 - \frac{3}{{10}}x < \left( {\frac{1}{9}} \right)^{ - 1} \Leftrightarrow - 6 < - \frac{3}{{10}}x < 9 - 6 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow - \frac{{10}}{3} \cdot 6 < - x < \frac{{10}}{3} \cdot 3 \Leftrightarrow - 20 < - x < 10 \Leftrightarrow 20 > x > - 10 \Leftrightarrow - 10 < x < 20$ .

Правильный ответ: 3.

A7. Найдите область определения функции $y = \sqrt[4]{{1 - 7^{x^2 } \cdot 49^x }}$ .

1. $[ - 2;\,\,2]$
2. $[0;\,\,2]$
3. $( - \infty ;\,\, - 2] \cup [0;\,\, + \infty )$
4. $[ - 2;\,\,0]$

Решение. Область определения функции задается неравенством $1 - 7^{x^2 } \cdot 49^x \ge 0$ . Решим его:

$1 - 7^{x^2 } \cdot 49^x \ge 0 \Leftrightarrow 7^{x^2 } \cdot 7^{2x} \le 1 \Leftrightarrow 7^{x^2 + 2x} \le 7^0 \mathop \Leftrightarrow \limits_{7 > 1} x^2 + 2x \le 0 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x(x + 2) \le 0 \Leftrightarrow \; - 2 \le x \le 0$ .

Правильный ответ: 4.

A8. Функция y = f(x) задана графиком на отрезке $[ - 5;\,\,3]$ . Укажите область ее значений.

1. $[ - 5;\,\,1]$
2. $[1;\,\, - 2) \cup ( - 2;\,\, - 5]$
3. $( - 2;\,\,1]$
4. $[1;\,\, - 2]$

Решение. Значение функции — ордината проекции точки ее графика на ось Oy. В нашем случае множество этих значений есть отрезок $[ - 5;\,\,1]$ .

Правильный ответ: 1.

A9. Найдите произведение корней уравнения $\sin 2x = x$ .

1. 0
2. $- \frac{{\pi ^2 }}{{36}}$
3. $- \frac{{\pi ^2 }}{{16}}$
4. корней нет

Решение. Ясно, что число 0 — решение данного уравнения, следовательно, сколько бы корней не имело данное уравнение, произведение всех корней равно нулю.

Правильный ответ: 1.

A10. На рисунке изображен график функции y =
f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной в точке x_0 .

1.
2.
3.
4.

Решение. Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке, причем угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Найдем тангенс угла АСВ прямоугольного треугольника ABC (см. рис.): $\mathop \tg \angle ACB = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{3} = 2$ . Тогда тангенс угла наклона касательной есть $\mathop \tg (\pi - \angle ACB) = - \mathop \tg \angle ACB = - 2$ .

Правильный ответ: 1.

A11. Найдите значение производной функции $y = x^2 + \sin x$ в точке $x_0 = \pi$ .

1. $\pi ^2 - 1$
2. $2\pi + 1$
3. $2\pi$
4. $2\pi - 1$

Решение. Используя формулы $(x^n )' = nx^{n - 1}$ и $(\sin x)' = \cos x$ , получим:

$y' = 2x + \cos x$ ;

$y'(\pi ) = 2 \cdot \pi + \cos \pi = 2\pi - 1$ .

Правильный ответ: 4.

A12. Укажите первообразную функции $f(x) = x + \cos x$ .

1. $F(x) = 2 - \cos x$
2. $F(x) = \frac{{x^2 }}{2} - \sin x$
3. $F(x) = x^2 + \cos x$
4. $F(x) = \frac{{x^2 }}{2} + \sin x$

Решение. Поскольку первообразной функции x^n является $\frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}}$ , а первообразной функции $\cos x$ является $\sin x$ , получаем:

$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + \sin x + C$ (в нашем случае C =
0 ).

Правильный ответ: 4.

A13. Решите уравнение $\sin ^2 x - \cos ^2 x = \frac{1}{2}$ .

1. корней нет
2. $\pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$
3. $\frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$
4. $\pm \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}$

Решение. Используя формулу косинуса двойного аргумента, получаем:

$\sin ^2 x - \cos ^2 x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow - \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x = \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k, \\ 2x = - \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k;\,\,k \in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{\pi }{3} + \pi k, \\ x = - \frac{\pi }{3} + \pi k;\,\,k \in \mathbb{Z}. \\ \end{array} \right.$

Правильный ответ: 4.

Часть B

B1. Найдите максимум функции $y = \frac{{x^3 }}{3} + \frac{{x^2 }}{2} - 2x - 2\frac{1}{3}$ .

Решение. Найдем производную:

$y' = 3 \cdot \frac{1}{3}x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x - 2 = x^2 + x - 2$ ;

Найдем нули производной:

$y' = 0 \Leftrightarrow x^2 + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2, \\ x = 1. \\ \end{array} \right.$

Знаки производной и промежутки монотонности функции показаны на рисунке. Функция имеет максимум в точке x = - 2 , следовательно,

$y_{\max } = y( - 2) = \frac{{( - 2)^3 }}{3} + \frac{{( - 2)^2 }}{2} - 2( - 2) - \frac{7}{3} = 6 - 5 = 1$ .

Ответ: 1.

B2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y
= x , $y = - x + 4\pi$ , $y = \sin \frac{x}{4}$ .

Решение. Построим эскизы графиков (см. рисунок). Площадь заштрихованной фигуры равна разности площади треугольника ABC и площади фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sin \frac{x}{4}$ и отрезком $[0;\,\,4\pi ]$ оси абсцисс. Координаты точки пересечения графиков $y = - x + 4\pi$ и y = x находятся из условия $- x + 4\pi = x$ , откуда $x = 2\pi$ , $y = 2\pi$ . Площадь треугольника ABC равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}|AC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4\pi \cdot 2\pi = 4\pi ^2$ .

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \sin \frac{x}{4}$ и отрезком $[0;\,\,4\pi ]$ оси абсцисс равна:

$S = \int\limits_0^{4\pi } {\sin \frac{x}{4}dx} = \left. { - 4\cos \frac{x}{4}} \right|_{\,0}^{\,4\pi } = - 4(\cos \pi - \cos 0) = 8$ .

Таким образом, искомая площадь равна:

$S = 4\pi ^2 - 8$ .

Ответ: $4\pi ^2 - 8$ .

B3. Сколько корней имеет уравнение $\left( {\frac{1}{{\cos ^2 x}} - 1} \right)\sqrt {25 - x^2 } = 0$ ?

Решение. Произведение равно нулю, если какой-то из множителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. Для нашего случая имеем:

либо а) $\left\{ \begin{array}{l} 25 - x^2 \ge 0 \\ \frac{1}{{\cos ^2 x}} - 1 = 0 \\ \end{array} \right.$ , либо б) $\left\{ \begin{array}{l} 25 - x^2 = 0 \\ \cos x \ne 0 \\ \end{array} \right.$ .

а) $\left\{ \begin{array}{l} 25 - x^2 \ge 0 \\ \frac{1}{{\cos ^2 x}} - 1 = 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} - 5 \le x \le 5 \\ \cos ^2 x = 1 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} - 5 \le x \le 5 \\ x = \pi k,\;k \in \mathbb{Z} \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l} x = - \pi \\ x = 0 \\ x = \pi \\ \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} 25 - x^2 = 0 \\ \cos x \ne 0 \\ \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l} x = - 5 \\ x = 5 \\ \end{array} \right.$

Таким образом, данное уравнение имеет пять корней.

Ответ: 5.

B4. При каком наибольшем значении a функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - ax^2 + 7ax + 5$ возрастает на всей числовой прямой?

Решение. Поскольку функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - ax^2 + 7ax + 5$ дифференцируема на всей числовой прямой, она возрастает, если f'(x) > 0 при любом значении x, за исключением, может быть, «отдельных» точек, в которых f'(x) = 0 .

f'(x) = 2x^2 - 2ax + 7a .

Чтобы $f'(x) \ge 0$ на всей числовой прямой, необходимо, чтобы дискриминант квадратного трехчлена 2x^2 - 2ax + 7a был неположителен:

$\frac{D}{4} \le 0 \Leftrightarrow a^2 - 14a \le 0 \Leftrightarrow a(a - 14) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le a \le 14$ .

Ответ: .

B5. Пусть $(x_0 ;\,\,y_0 )$ — решение системы $\left\{ \begin{array}{l} y + 2 = \sqrt {x + 4} , \\ y + |x - 5| = 1. \\ \end{array} \right.$ Найдите отношение $\frac{{x_0 }}{{y_0 }}$ .

Решение.

I способ.

$\left\{ \begin{array}{l} y + 2 = \sqrt {x + 4} \\ y + |x - 5| = 1 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} y + 2 = \sqrt {x + 4} \\ y + 2 = 3 - |x - 5| \\ \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 4} = 3 - \,|x - 5| \\ y + |x - 5| = 1 \\ \end{array} \right.\;$ .

Решим первое уравнение системы:

а) $\left\{ \begin{array}{l} x \ge 5 \\ \sqrt {x + 4} = 8 - x \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 5 \le x \le 8 \\ x + 4 = 64 - 16x + x^2 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 5 \le x \le 8 \\ x^2 - 17x + 60 = 0 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;x = 5$ .

б) $\left\{ \begin{array}{l} - 4 \le x < 5 \\ \sqrt {x + 4} = x - 2 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 2 \le x < 5 \\ x + 4 = x^2 - 4x + 4 \\ \end{array} \right.\; \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} 2 \le x < 5 \\ x^2 - 5x = 0 \\ \end{array} \right.\;$ – система не имеет решений.

Подставляя найденное значение x во второе уравнение системы, получаем y = 1 . Таким образом, пара (5; 1) – единственное решение данной системы, откуда искомое отношение равно 5.

II способ.

$\left\{ \begin{array}{l} y + 2 = \sqrt {x + 4} , \\ y + |x - 5| = 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x + 4} = 3 - |x - 5|\,\, (*), \\ y = 1 - |x - 5|. \\ \end{array} \right.$

Решим уравнение (*) с помощью графиков функций $y = \sqrt {x + 4}$ и $y = 3 - \,\,|x - 5|$ . Проверка подтверждает, что «вершина» графика $y = 3 - \,\,|x - 5|$ – точка $(5;\,\,3)$ – принадлежит графику функции $y = \sqrt {x + 4}$ , следовательно, графики имеют ровно одну общую точку – $(5;\,\,3)$ . Отсюда следует, что x =
5 – единственное решение уравнения (*).

Далее получаем:

$\left\{ \begin{array}{l} x = 5, \\ y = 1 - |x - 5| \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5, \\ y = 1. \\ \end{array} \right.$

Таким образом, искомое отношение равно 5.

Ответ: 5.

B6. Найдите значение выражения $\arcsin \left( {\sin \frac{\pi }{3}} \right) + \arcsin \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ .

Решение. Поскольку $\arcsin ( - x) = - \arcsin (x)$ , получаем:

$\arcsin \left( {\sin \frac{\pi }{3}} \right) + \arcsin \left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = \arcsin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) - \arcsin \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 0$ .

Ответ: 0.

B7. Найдите наименьшее значение функции $g(x) = \log _{\frac{1}{2}} (2 - x^2 )$ .

Решение. Поскольку $\frac{1}{2} < 1$ , функции $g(x) = \log _{\frac{1}{2}} (2 - x^2 )$ принимает свое наименьшее значение в той точке, в которой функция f(x) = 2 - x^2 принимает свое наибольшее значение, т.е. в точке x =
0 . Таким образом, наименьшее значение функции $g(x) = \log _{\frac{1}{2}} (2 - x^2 )$ равно $g(0) = \log _{\frac{1}{2}} 2 = - 1$ .

Ответ: .

B8. В равнобедренный треугольник PMK с основанием MK вписана окружность с радиусом $2\sqrt 3$ . Высота PH делится точкой пересечения с окружностью в отношении 1:2 , считая от вершины P. Найдите периметр треугольника PMK.

Решение.

I способ.

1. Поскольку PH делится точкой R пересечения с окружностью в отношении 1:2 , имеем:

$PR = \frac{1}{2}RH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r = r$ ; откуда PO = PR + RO = 2r .

2. Проведем $OL \bot PK$ , $OL\,\, = r$ . Поскольку в прямоугольном треугольнике PLO катет OL равен половине гипотенузы PO, имеем $\widehat{LPO} = 30^\circ$ . Тогда $\widehat{KPM} = 60^\circ$ и KPM – равносторонний треугольник. Тогда

$KM\,\, = 2\sqrt 3 r = 2\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 3 = 12$ , откуда $P_{KPM} = 3 \cdot 12 = 36$ .

II способ.

1 Поскольку PH делится точкой R пересечения с окружностью в отношении 1:2 , имеем:

$PR\,\, = \frac{1}{2}RH\,\, = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r = r$ ; откуда $PO\,\, = \,\,PR + RO\,\, = 2r$ и PO:OH =
2:1 .

2. Так как PMK – равнобедренный треугольник, его высота PH является также и медианой, следовательно, точка О – точка пересечения медиан треугольника РМК. Но центр вписанной в треугольник окружности есть точка пересечения его биссектрис. Поскольку точка пересечения медиан треугольника РМК и точка пересечения его биссектрис совпадают, треугольник KPM – равносторонний треугольник, откуда получаем

$KM\,\, = 2\sqrt 3 r = 2\sqrt 3 \cdot 2\sqrt 3 = 12$ . $P_{KPM} = 3 \cdot 12 = 36$ .

Ответ: 36.

B9. В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 12 и 5. Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом $45^\circ$ . Найдите объем пирамиды.

Решение. Введем обозначения, как показано на рисунке.

1. Заметим, что в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ( 5^2 + 12^2 = 13^2 ), следовательно, его площадь S равна половине произведения катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$ .

2. Поскольку боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания – в середину O гипотенузы АВ.

3. Медиана СО прямоугольного треугольника АВС равна радиусу описанной около него окружности – половине гипотенузы АВ.

4. Треугольник SOC прямоугольный и равнобедренный ( $\angle SCO = 45^\circ$ ), откуда

$|SO|\,\, = \,\,|CO|\,\, = \,\,|OB|\,\, = \frac{{13}}{2}$ , $V = \frac{1}{3}S_{ABC} \cdot |SO|\,\, = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot \frac{{13}}{2} = 65$ .

Ответ: 65.

Часть C

C1. Решите уравнение $32^{x + 3} \cdot 3^{3x + 1} \cdot 625^{x + 2} = 600^{x + 7}$ .

Решение.

$32^{x + 3} \cdot 3^{3x + 1} \cdot 625^{x + 2} = 600^{x + 7} \Leftrightarrow 2^{5(x + 3)} \cdot 3^{3x + 1} \cdot 5^{4(x + 2)} = 2^{3(x + 7)} \cdot 3^{x + 7} \cdot 5^{2(x + 7)} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow 2^{2x - 6} \cdot 3^{2x - 6} \cdot 5^{2x - 6} = 1 \Leftrightarrow 30^{2x - 6} = 1 \Leftrightarrow 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3$ .

Ответ: $\{ 3\}$ .

C2. Найдите множество значений функции $y = \sin 2x$ , если $x \in \left[ {\mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{\mathop \arctg 3} \right]$ .

Решение.

1. Пусть 2x = t . Тогда множество значений функции $y = \sin 2x$ на отрезке $\left[ {\mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{\mathop \arctg 3} \right]$ совпадает с множеством значений функции $y = \sin t$ на отрезке $\left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{2 \mathop \arctg 3} \right]$ .

Так как $y = \mathop \arctg x$ убывающая функция $\mathop \arctg \frac{1}{2} < \mathop \arctg 1 = \frac{\pi }{4}$ , $\mathop \arctg 3 > \mathop \arctg \sqrt 3 = \frac{\pi }{3}$ , откуда $2 \mathop \arctg \frac{1}{2} < \frac{\pi }{2}$ , $2 \mathop \arctg 3 > \frac{{2\pi }}{3}$ .

2. Изобразим отрезок $\left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,{2 \mathop \arctg 3} \right]$ на единичной окружности (см. рисунок).

Функция $y = \sin t$ возрастает на отрезке $\left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,\frac{\pi }{2}} \right]$ и убывает на отрезке $\left[ {\frac{\pi }{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right]$ , следовательно, свое наибольшее значение она принимает в точке $x = \frac{\pi }{2}$ , а наименьшее – на одном из концов отрезка $\left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right]$ .

3. Вычислим эти значения:

а) наибольшее значение функции: $\sin \frac{\pi }{2} = 1$ ;

б) поскольку $\sin 2x = \frac{{2 \mathop \tg x}}{{1 + \mathop \tg ^2 x}}$ , имеем

$\sin (2 \mathop \arctg 3) = \frac{2 \mathop \tg (\mathop \arctg 3)}{1 + \mathop \tg ^2 (\mathop \arctg 3)}$ $\,= \frac{{2 \cdot 3}}{{1 + 9}} = \frac{6}{{10}} = \frac{9}{{15}}$ ,

$\sin (2 \mathop \arctg \frac{1}{2}) = \frac{2 \mathop \tg (\mathop \arctg \frac{1}{2})}{1 + \mathop \tg ^2 (\mathop \arctg \frac{1}{2})}$ $\,= \frac{{2 \cdot \frac{1}{2}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = \frac{2}{3} = \frac{{10}}{{15}}$ .

Таким образом, $\sin (2 \mathop \arctg 3) < \sin (2 \mathop \arctg \frac{1}{2})$ , откуда 0,6 – наименьшее значение функции.

Поскольку функция $y = \sin t$ непрерывна на отрезке $\left[ {2 \mathop \arctg \frac{1}{2};\,\,2 \mathop \arctg 3} \right]$ , множество ее значений есть отрезок $\left[ {\sin (2 \mathop \arctg 3);\;\sin \frac{\pi }{2}} \right]$ , т.е. отрезок $[0,\!6;\;1]$ .

Ответ: $[0,\!6;\;1]$ .

C3. При каких значениях a сумма $\log _a (\cos ^2 x + 1)$ и $\log _a (\cos ^2 x + 5)$ равна 1 хотя бы при одном значении x?

Решение.

Требуется найти значения параметра a такие, что уравнение $\log _a (\cos ^2 x + 1) + \log _a (\cos ^2 x + 5) = 1$ имеет хотя бы одно решение. Поскольку $\cos ^2 x + 1 > 0$ и $\cos ^2 x + 1 > 0$ , имеем

$\log _a (\cos ^2 x + 1) + \log _a (\cos ^2 x + 5) = 1 \Leftrightarrow \log _a ((\cos ^2 x + 1)(\cos ^2 x + 5)) = 1 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \log _a (\cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1, \\ \cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5 = a. \\ \end{array} \right.$

Уравнение $\cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5 = a$ имеет решения, если a принадлежит множеству значений функции $f(x) = \cos ^4 x + 6\cos ^2 x + 5$ , совпадающему со множеством значений функции g(t) = t^2 + 6t
+ 5 на отрезке $[0;\,\,1]$ .

Поскольку абсцисса вершины t_0 = - 3 параболы g(t) =
t^2 + 6t + 5 меньше нуля, функция g(t) = t^2 + 6t +
5 возрастает на отрезке $[0;\,\,1]$ и множество ее значений на этом отрезке есть отрезок $[g(0);\;g(1)]$ , т.е. отрезок $[5;\,\,12]$ . Таким образом, искомыми значениями параметра являются все числа a, такие, что $5 \le a \le 12$ .

Ответ: $[5;\,\,12]$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке