Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2004 года

Единый государственный экзамен по математике, 2004 год

Часть A

A1. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она принимает только положительные значения.

1.	$( - 1;\,3)$
2.	$( - 2;\,3)$
3.	$(0;\,6)$
4.	$( - 2;\,6)$

A2. Найдите множество значений функции $y = \sin x - 5$ .

$[ - 5;\, - 4]$

$[ - 1;\,1]$

$(-\infty;\, +\infty)$

$[ - 6;\, - 4]$

A3. Найдите производную функции $y = \frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17$ .

1.		2.
3.		4.	$y' = \frac{1}{6}x^7 - x^5 - 17x$

A4. Укажите область определения функции $y = \frac{1}{{3^{3x + 4} - 3^{ - 2} }}$ .

1.	$( - \infty ;\,2) \cup (2;\,+ \infty )$	2.	$\left( { - \infty ;\, - \frac{3}{2}} \right) \cup \left( { - \frac{3}{2};\, + \infty } \right)$
3.	$\left( { - \infty ;\, - \frac{2}{3}} \right) \cup \left( { - \frac{2}{3};\, + \infty } \right)$	4.	$( - \infty ;\, - 2) \cup ( - 2;\, + \infty )$

A5. Вычислите: $16^{\frac{1}{4}} + \left( {\frac{1}{7}} \right)^{ - 1}$ .

$\frac{15}{7}$

$\frac{29}{7}$

A6. Упростите выражение $\frac{{\sqrt[5]{{a^{11}}}}}{{\sqrt[5]{a}}}$ .

$a^{\frac{{12}}{5}}$

$a^{\frac{{11}}{5}}$

A7. Вычислите: $\log _4 100 + \log _4 0,64$ .

A8. Решите неравенство $4^{3x - 6} \le 16^x$ .

$( - \infty;\,3]$

$( - \infty ;\,6]$

$( - \infty ;\,8]$

$\left( { - \infty ;\,\frac{6}{5}} \right]$

A9. Какому промежутку принадлежит корень уравнения $\log _7 (x + 11) = \log _7 (24x) - \log _7 6$ ?

$(3;\,5)$

$( - 4;\, - 2)$

$(0;\,2)$

$(2;\,3)$

A10. Решите неравенство $\frac{{(3 + 6x)(x + 2)}}{{5 - x}} \ge 0$ .

1.	$(5;\, + \infty )$	2.	$\left[ { - 2;\, - \frac{1}{2}} \right] \cup (5;\, + \infty )$
3.	$( - \infty ;\, - 2]$	4.	$( - \infty ;\, - 2] \cup \left[ { - \frac{1}{2};\,5} \right)$

A11. Решите уравнение $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{1}{2}$ .

1.	$( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	2.	$( - 1)^k \frac{\pi }{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ [/tex]
3.	$\pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	4.	$\frac{\pi }{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

A12. К графику функции f(x) = 3x^2 + 5x - 15 в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{6}$ проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона касательной к оси .

A13. Найдите значение ${\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha$ , если $\sin \alpha = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$ и $\frac{\pi }{2} \le \alpha \le \pi$ .

$- \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}$

A14. На рисунке изображен график функции y =
f(x) . Какому из следующих промежутков принадлежит корень уравнения f(x) + 2 = 0 ?

1.	$(0;\,2)$
2.	$(2;\,3)$
3.	$( - 7;\, - 6)$
4.	$( - 2;\, - 1)$

Часть B

B1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 8 - x^3 , x = - 4 , x = - 3 и y = 0 .

B2. Функция y = f(x) определена на промежутке $(a;\,b)$ . На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек минимума функции на промежутке $(a;\,b)$ .

B3. Найдите значение выражения $\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$ , если $\cos x = - \frac{3}{5}$ и $\pi \le x \le 2\pi$ .

B4. Сколько корней имеет уравнение $(\sin ^4 x - \cos ^4 x) \cdot \log _2 (1 - x^2 ) = 0$ ?

B5. Найдите точку максимума функции $f(x) = \log_{\frac{3}{{10}}} (x^2 - 9x + 21)$ .

B6. Укажите наименьшее целое число из области определения функции $y = (28 - |2x + 3|)^{ - \frac{3}{{10}}}$ .

B7. Компьютерная игра состоит в последовательном прохождении нескольких уровней. За прохождение каждого уровня игрок получает 10 баллов. Кроме того, начисляются премиальные баллы по следующей схеме: 4 балла за второй уровень, а за каждый следующий уровень на 4 балла больше, чем за предыдущий. Сколько уровней надо пройти, чтобы набрать ровно 570 баллов?

B8. Сечение правильной четырехугольной пирамиды проходит через сторону основания и середину скрещивающегося с ней бокового ребра. Найдите тангенс угла между плоскостями основания и сечения пирамиды, если высота пирамиды равна 9, а диагональ основания равна $4\sqrt 2$ .

B9. Один из углов прямоугольной трапеции и угол между меньшей диагональю и меньшим основанием раны $60^\circ$ каждый. Найдите большее основание, если средняя линия трапеции равна .

Часть C

C1. Решите систему уравнений $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {2x - 7y - 9} = \frac{{2x - 7y - 1}}{6}, \\\frac{{4x - y + 1}}{{2x - 7y - 13}} = 2x + y. \\\end{array} \right.$

C2. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю , где — начало координат, а — точка на графике функции $y = 3 - 4\ln \left( {\frac{1}{5}x - 1} \right)$ , $6 \le x \le \frac{{19}}{2}$ .

C3. В кубе ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 с ребром $7\sqrt 3$ , расположен конус. Вершина конуса находится в точке D_1 , центр его основания, точка , лежит на диагонали BD_1 так, что $\frac{{BO}}{{OD_1}} = \frac{2}{5}$ . Окружность основания конуса имеет с каждой гранью, содержащей точку , ровно по одной общей точке. Определите объем конуса.

C4. Найдите все положительные значения параметра , при каждом из которых множество решений неравенства |ax + 5|x| - 8| < 2 содержится в некотором отрезке длиной и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной .