Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2006 года

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год

Часть A

A1. Упростите выражение $\frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7}}}$ .

$7^{2,1}$

Решение. Поскольку $\frac{{a^x }}{{a^y }} = a^{x - y}$ , получаем:

$\frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7} }} = 7^{2,8 - 0,7} = 7^{2,1}$ .

Правильный ответ: 2.

A2. Найдите значение выражения $12\log _6 (6^2)$ .

$2^{12}$

Решение. Так как $\log_a a = 1$ и $\log_a x^n = n\log _a x$ при x > 0 имеем:

$12\log _6 (6^2) = 2 \cdot 12\log _6 6 = 2 \cdot 12 \cdot 1 = 24$ .

Правильный ответ: 3.

A3. Вычислите $\sqrt[3] {125 \cdot 0,027}$ .

Решение. Используя формулы $\sqrt[n] {ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^n} = a$ ( $a > 0,\;b > 0$ ), получаем:

$\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}} = \sqrt[3]{{125}} \cdot \sqrt[3]{{0,027}} = \sqrt[3]{{5^3 }} \cdot \sqrt[3]{{0,3^3 }} = 5 \cdot 0,3 = 1,5$ .

Правильный ответ: 1.

A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке $[ - 1;\;2]$ ?

1.		2.
3.		4.

Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.
Правильный ответ: 4.

A5. Найдите множество значений функции $y = \frac{7}{3}\cos x$ .

$[ - 1;\;1]$

$\left[-\frac{7}{3};\;\frac{7}{3}} \right]$

$\left[ {0;\;\frac{7}{3}} \right]$

$( - \infty ;\; + \infty )$

Решение. Так как $|\cos x| \le 1$ , имеем:

$- 1 \le \cos x \le 1$ $\Leftrightarrow \; - \frac{7}{3} \le \frac{7}{3}\cos x \le \frac{7}{3}$ .

Правильный ответ: 2.

A6. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{{31}}{{4 - \sqrt[4]{x}}}$ .

1.	$[0;\;256) \cup (256;\; + \infty )$	2.	$( - \infty ;\;256) \cup (256;\; + \infty )$
3.	$[0;\;4) \cup (4;\; + \infty )$	4.	$[0;\; + \infty )$

Решение. Область определения данной функции задается системой $\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.$
Имеем:

$\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.$ $\; \Leftrightarrow \;\left\{\begin{array}{l} x \ge 0, \\\sqrt[4]{x} \ne 4 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0, \\x \ne 256 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l}0 \le x < 256, \\256 < x < + \infty. \\\end{array} \right.$

Правильный ответ: 1.

A7. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x) , заданных на промежутке . Укажите те значения , для которых выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$ .

1.	$[ - 1;\;1]$
2.	$[ - 2;\;2]$
3.	$[ - 3;\; - 1] \cup [1;\;6]$
4.	$[ - 3;\; - 2] \cup [2;\;6]$

Решение. Для решения задачи достаточно указать абсциссы всех тех точек графика функции y = f(x) , которые лежат не выше точек графика функции y = g(x) .
Правильный ответ: 1.

A8. Найдите производную функции $y = \frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17$ .

1.
2.	$y' = \frac{1}{6}x^7 - x^5 - 17x$
3.
4.

Решение. Пользуясь формулой $(x^p )' = px^{p - 1}$ и правилами дифференцирования, получаем:

$\left( {\frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17x} \right)^\prime = 6 \cdot \frac{7}{6}x^5 - 4 \cdot 5x^3 = 7x^5 - 20x^3$ .

Правильный ответ: 1.

A9. Решите уравнение ${\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1$ .

1.	$- \pi + 4\pi n,\;n \in \mathbb{Z}$
2.	$- \frac{\pi }{{16}} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}$
3.	$- \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}$
4.	$- \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}$

Решение.

${\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1 \Leftrightarrow 4x = - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}$ .

Правильный ответ: 3.

A10. Решите неравенство $\log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}}(4x)$ .

$( - \infty ;\;6)$

$\left( \frac{6}{5};\;6 \right)$

$\left( \frac{6}{5};\; + \infty )$

$(6;\; + \infty )$

Решение. Пользуясь свойствами логарифмической функции, основание которой меньше 1, имеем:

$\log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}} (4x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 6 < 4x, \\ 5x - 6 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 6, \\ x > \frac{6}{5} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{5} < x < 6$ .

Правильный ответ: 2.

Часть B

B1. Решите уравнение $4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80$ .
Решение. Поскольку $4^{x + 2} = 4^x \cdot 4^2$ , вынося за скобки общий множитель 4^x , получаем:

$4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80 \Leftrightarrow 4^x (4^2 - 11) = 80 \Leftrightarrow 5 \cdot 4^x = 80 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 4^x = 16 \Leftrightarrow 4^x = 4^2 \Leftrightarrow x = 2$ .

Ответ: $\{2\}$ .

B2. Решите уравнение $4 \cdot 5^{\log _5 x} = 2x + 3$ .
Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством и учитывая условие существования логарифма, имеем:

$4 \cdot 5^{\log _5 x} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = 2x + 3, \\ x > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}$ .

Ответ: $\left\{\frac{3}{2}\right\}$ .

B3. Найдите значение выражения $3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi - \alpha )$ , если $\sin \alpha = \frac{3}{10}$ .
Решение. Пользуясь формулами приведения, получаем:

$3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi - \alpha ) = - 3\sin \alpha + \sin \alpha = - 2\sin \alpha = - \frac{3}{5}$ .

Ответ: $- \frac{3}{5}$ .

B4. Вычислите: $7\log _{9\sqrt[3]{3}} (27\sqrt[3]{3})$ .
Решение. Последовательно используем свойства степеней и логарифмов:

$7\log _{9\sqrt[3]{3}} (27\sqrt[3]{3}) = 7\log _{3^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} } (3^3 \cdot 3^{\frac{1}{3}} ) = 7\log_{3^{\frac{7}{3}} } (3^{\frac{{10}}{3}} ) = 7 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{{10}}{3}\log _3 3 = 10$ .

Ответ: .

B5. К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции.
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 равен значению производной функции в этой точке, т.е. f'(4) .
Ответ: .

B6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции $y = 2^{(x - 2)^2 - 3}$ на отрезке .
Решение. Парабола y = (x - 2)^2 - 3 , ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке (2; - 3) , следовательно, функция f(x) = (x - 2)^2 - 3 убывает на отрезке $[0;\,2]$ и возрастает на отрезке $[2;\,3]$ . Имеем: f(0) = 1 , f(2) = - 3 , f(3) = - 2 . Показательная функция с основанием, большим , – функция возрастающая, откуда $\mathop {\max }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} ) = 2^1 = 2$ , $\mathop {\min }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} ) = 2^{ - 3} = \frac{1}{8} = 0,125$ .
Искомая разность равна 2 - 0,125 = 1,875 .
Ответ: 1,875.

B7. Решите уравнение $16x^2 - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3 + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)$ .
Решение.

$16x^2 - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3 + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)$
$\Leftrightarrow$ $16x^2 - 24x + 12 = 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3}$ .

       Парабола y = 16x^2 - 24x + 12 , ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке $(x_0 ;\;y_0 )$ , где $x_0 = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24}}{{2 \cdot 16}} = \frac{3}{4}$ , y_0 = y(x_0 ) = 3 . Следовательно, $16x^2 - 24x + 12 \ge 3$ .
       С другой стороны, имеем $\sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \ge 0 \Rightarrow 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \le 3$ .
       Таким образом, данное уравнение равносильно системе $\left\{\begin{array}{l}16x^2 - 24x + 12 = 3, \\ 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} = 3. \\ \end{array} \right.$
       Единственное решение первого уравнения системы, $x = \frac{3}{4}$ , удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, это решение системы.
Ответ: $\left\{\frac{3}{4}\right\}$ .

B8. Найдите значение функции y = f(x)g( - x) + 2f( - x) в точке x_0 , если известно, что функция – четная, функция y = g(x) – нечетная, f(x_0 ) = 2 , g(x_0 ) = - 3 .
Решение. По условию, функция – четная, а функция – нечетная, следовательно, f( - x) = f(x) , g( - x) = - g(x) . Тогда данная функция y = f(x)g( - x) + 2f( - x) принимает вид y = - f(x)g(x) + 2f(x) , откуда находим: $- f(x_0 )g(x_0 ) + 2f(x_0) = - 2 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 2 = 10$ .
Ответ: .

B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 4:5:7 . Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на $7\%$ и из второй – тоже на $7\%$ . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?
Решение. Примем объем ежегодной добычи нефти из первой скважины за , тогда объемы ежегодной добычи нефти второй и третьей скважинами равны соответственно и , а суммарный объем ежегодной добычи нефти равен 16a . После уменьшения годовой добычи нефти из первой и второй скважин на $7\%$ объем добываемой из них нефти будет равен 0,93(4a + 5a) = 8,37a и на «долю» третьей скважины останется 16a - 8,37a = 7,63a . Пусть – то количество процентов, на которое нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился. Тогда имеем $(1 + 0,01n) \cdot 7a = 7,63a$ , откуда 1 + 0,01n = 1,09 и, окончательно, n = 9 .

Ответ: .

B10. Основание прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 — параллелограмм ABCD , в котором AB = 4 , $\angle ABC = 30^\circ$ . Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ADC_1 .
Решение. Построим высоту параллелограмм ABCD и соединим отрезком точки C_1 и . (см. рис.). Поскольку ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 – прямая призма, $C_1 C \bot (ABC)$ . Значит – проекция наклонной C_1 K на плоскость , и, на основании теоремы о трех перпендикулярах, $C_1 K \bot AD$ . Следовательно, угол C_1 KC – линейный угол двугранного угла C_1 ADC . Основание данной призмы – параллелограмм ABCD , откуда, на основании свойств параллелограмма, CD = AB , $\angle CDA = \angle ABC$ .
Далее находим:
а) из прямоугольного треугольника CDK : $CK = CD\sin \hat D = 4 \cdot \sin 30^\circ = 2$ ;
б) из прямоугольного треугольника C_1 KC : ${\mathop{\rm tg}\nolimits} \hat K = \frac{{C_1 C}}{{CK}} = \frac{3}{2}$ .

Ответ: $\left\{\frac{3}{2}\right\}$ .

B11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна , а синус угла между диагональю и основанием равен $\frac{2}{{\sqrt {13}}}$ .
Решение. Пусть ABCD – данная трапеция ( $AD\parallel BC$ ), отрезки и – ее высоты (см. рис). Поскольку ABCD – равнобедренная трапеция, $AK = MD = \frac{{AD - BC}}{2}$ , откуда $AM = AD - MD = AD - \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{AD + BC}}{2}$ . Таким образом, отрезок равен средней линии трапеции и, следовательно, $S_{ABCD} = AM \cdot CM$ .
Из прямоугольного треугольника находим:

$AC = \frac{{CM}}{{\sin \angle CAM}} = \frac{{8 \cdot \sqrt {13}}}{2} = 4\sqrt {13}$ ; $AM = \sqrt {AC^2 - CM^2 } = \sqrt {16 \cdot 13 - 64} = \sqrt {16 \cdot 9} = 12$ .

Окончательно имеем $S_{ABCD} = 12 \cdot 8 = 96$ .
Ответ: .

Часть C

C1. Решите уравнение $\sin 0,8x = ( \sqrt {4 - x^2 })^2 + x^2 - 3$ .
Решение. Область допустимых значений (ОДЗ) задается неравенством $4 - x^2 \ge 0$ , решая которое, получаем $- 2 \le x \le 2$ . На этом множестве имеем

$\sin 0,8x = ( \sqrt {4 - x^2 })^2 + x^2 - 3 \Leftrightarrow \sin 0,8x = 4 - x^2 + x^2 - 3 \Leftrightarrow \sin 0,8x = 1 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 0,8x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi k}}{2}$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Далее имеем:
а) если $k \le - 1$ , то $x \le \frac{{5\pi }}{8} - \frac{{5\pi }}{2} = - \frac{{15\pi }}{8} < - \frac{{15 \cdot 3}}{8} < - 2$ ;
б) если $k \ge 1$ , то $x \ge \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{25\pi }}{8} > \frac{{25 \cdot 3}}{8} > 2$ ;
в) если k = 0 , то $\;x = \frac{{5\pi }}{8} < \frac{{5 \cdot 3,2}}{8} = 2$ .
Таким образом, $x = \frac{{5\pi }}{8}$ – единственный корень данного уравнения.
Ответ: $\left\{ {\frac{{5\pi }}{8}} \right\}$ .

С2. Найдите все значения , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций $f(x) = \log _{36} (9x + 27)$ и g(x) = 1,25 меньше, чем 0,25.
Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства $|{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25$ .
Решим это неравенство:

$|{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25 \Leftrightarrow - 0,25 < \log _{36} (9x + 27) - 1,25 < 0,25 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow 1 < \log _{36} (9x + 27) < 1,5 \mathop \Leftrightarrow \limits_{36 > 1} 36 < 9x + 27 < 216 \Leftrightarrow 1 < x < 21$ .

Ответ: $(1;\, 21)$ .

С3. Требуется разметить на земле участок A B C D E F G H площадью 2000 м², состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где FG = BC = 20 , EF = 10 и $CD \ge 15$ . Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин , и , при которых периметр является наименьшим.
Решение. Обозначим через , и соответственно длины отрезков , и площадь участка A B C D E F G H . Тогда периметр данного участка выражается формулой P = 2(x + y) .
О ценим площадь прямоугольника AKLH :

$S_{AKLH} = S + EF \cdot FG + CD \cdot BC = 2000 + 200 + 20 \cdot CD \ge 2200 + 20 \cdot 15 = 2500$ .

       Значит, $xy \ge 2500$ , откуда, учитывая y > 0 , получаем $y \ge \frac{{2500}}{x}$ . Следовательно, $P \ge 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right)$ .
       Найдем наименьшее значение функции $P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right)$ на промежутке $(0;\; + \infty)$ . (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: $(15;\; + \infty)$ .)
       На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем $\frac{{x + \frac{{2500}}{x}}}{2} \ge \sqrt {x \cdot \frac{{2500}}{x}} \Leftrightarrow x + \frac{{2500}}{x} \ge 100$ . При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда $x = \frac{{2500}}{x}$ , откуда, учитывая x > 0 , получаем x = 50 . (Исследование функции $P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right)$ можно было также провести с помощью производной.)
       Таким образом, P(50) = 200 – наименьшее значение функции P(x) на промежутке $(0;\; + \infty )$ , и достигается оно при x = y = 50 . При этом CD = 15 .
Ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.

C4. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB:FA = 13:3 . Тангенс угла между прямой и плоскостью ABF равен 1,5 . Точка выбрана на ребре так, что BM:MC = 2:3 . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды FABC , лежит на ребре , площадь этой сферы равна $4\pi$ . Найдите объем пирамиды ACMT .
       Решение. Опустим перпендикуляры и из точек и соответственно на плоскости ABC и ABF и перпендикуляр из точки на прямую , а также построим отрезки и (см. рис).
       Поскольку плоскости ABF и ABC перпендикулярны, точки и лежат на их линии пересечения – прямой и отрезки и перпендикулярны . Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, $KN \bot BC$ , так как – проекция на плоскость ABC .
       Отрезки и – проекции равных наклонных и на плоскость ABC , следовательно, BK = KM . Таким образом, отрезок является высотой равнобедренного треугольника BKM , а, следовательно, является и его медианой, откуда $BN = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{5}BC$ .
       Центр сферы, описанной около пирамиды FABC , лежит на ребре , следовательно, – диаметр этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы AFB и ACB – вписанные углы, опирающиеся на диаметр , следовательно, $AC \bot BC$ и $AF \bot BF$ .
       Так как – проекция на плоскость ABF , угол CBE является углом между прямой и плоскостью ABF .
       Далее имеем:
1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды FABC , равна $4\pi$ , откуда $4\pi R^2 = 4\pi$ , R =
1 , AB = 2 .
2) Прямые и параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой , следовательно, $\Delta KBN \sim \Delta ABC$ , откуда $\frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{5}$ , $BK = \frac{1}{5}AB$ , а, значит, $AK = \frac{4}{5}AB = \frac{8}{5}$ .
3) В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла равен $\frac{3}{2}$ , следовательно, $AC = \frac{3}{2}BC$ . Тогда BC^2 + AC^2 = AB^2 , $BC^2 + \frac{9}{4}BC^2 = 4$ , $BC^2 = \frac{{16}}{{13}}$ , $S_{\Delta ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot \frac{3}{2}BC = \frac{3}{4}BC^2 = \frac{{12}}{{13}}$ .
4) Треугольники ABC и AMC имеют общую высоту, проведенную из вершены , следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований и , откуда получаем $\frac{{S_{\Delta AMC} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{MC}}{{BC}} = \frac{3}{5}$ , $S_{\Delta AMC} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} = \frac{{36}}{{65}}$ .
5) Прямоугольные треугольники ATK и AFB подобны, так как имеют общий острый угол , следовательно, $\frac{{KT}}{{FB}} = \frac{{AK}}{{FA}}$ , откуда $KT = \frac{{FB}}{{FA}} \cdot AK = \frac{{13}}{3} \cdot \frac{8}{5} = \frac{{104}}{{15}}$ .
       Окончательно имеем

$V_{ACMT} = \frac{1}{3}S_{\Delta ACM} KT = \frac{{36 \cdot 104}}{{3 \cdot 65 \cdot 15}} = \frac{{416}}{{325}}$ .

Ответ: $\frac{416}{325}$ .

C5. Найдите все значения , при каждом из которых оба числа $a \cdot 4^a$ и $4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5} - a^2 \cdot 16^{a - 0,5} + 1} \right)$ являются решениями неравенства $\log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0$ .
Решение. Пусть $a \cdot 4^a = t$ . Тогда

$4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5} - a^2 \cdot 16^{a - 0,5} + 1} \right) = 4\left( {\frac{{a \cdot 4^a }}{{4^{0,5} }} - \frac{{a^2 \cdot 4^{2a} }}{{16^{0,5} }} + 1} \right) =$
= 2t - t^2 + 4 = - (t - 1)^2 + 5

Решим теперь неравенство $\log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0$ .
1) Если 0,5 < x < 1,5 , то данное неравенство равносильно системе неравенств $\left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1, \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0. \\\end{array} \right.$
Решая эту систему, последовательно получаем:

$\left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1 \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 4 \\ \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3x + 15}}{{x - 6}} \le 0 \\\frac{{ - 3}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \ge 0 \\ x - 6 < 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 5$ .

Таким образом, все числа промежутка $(0,5;\, 1,5)$ являются решениями данного неравенства.
2) Если x > 1,5 , то данное неравенство равносильно неравенству $\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1$ , решая которое, получаем:

$\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \le 0 \Leftrightarrow 5 \le x < 6$ .

       Так как все числа промежутка $[5;\, 6)$ удовлетворяют условию x > 1,5 , они являются решениями данного неравенства.
       Итак, множество $(0,5;\;1,5) \cup [5;\;6)$ – есть множество решений данного неравенства и, по условию, числа и - (t - 1)^2 + 5 должны принадлежать этому множеству.
       Точка $(1;\, 5)$ – вершина параболы z(t) = - (t - 1)^2 + 5 , ветви которой направлены вниз.
       На промежутке $[5;\, 6)$ функция убывает и, если $t \in [5;\;6)$ , то $z(t) \le z(5) = - 11$ , т.е. в этом случае число не является решением данного неравенства.
       Если $t \in (0,5;\;1,5)$ , то $z_1 < z(t) \le 5$ , где z_1 – меньшее из чисел z(0,5) и z(1,5) . Поскольку z(0,5) = z(1,5) = 4,75 , в этом случае только число z(1) = 5 является решением данного неравенства.
       Итак, только при t = 1 оба числа являются решениями данного неравенства.
       Осталось решить относительно уравнение $a \cdot 4^a = 1$ . (1)
       При $a \le 0$ левая часть уравнения (1) неположительна, а правая положительна, значит, уравнение не имеет неположительных корней.
       При a > 0 уравнение (1) равносильно уравнению $4^a = \frac{1}{a}$ . (2)
       Поскольку y = 4^a – возрастающая функция, а функция $y = \frac{1}{a}$ убывает при a > 0 , уравнение (2) имеет на промежутке $(0;\; + \infty )$ не более одного корня. Подбором находим $a = \frac{1}{2}$ .
Ответ: $\frac{1}{2}$ .

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке