На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2006 года


Единый государственный экзамен по математике, 2006 год

Часть A

A1. Упростите выражение \frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7}}}.

1. 2,1 2. 7^{2,1} 3. 7^4 4. 4

       Решение. Поскольку \frac{{a^x }}{{a^y }} = a^{x - y}, получаем:

\frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7} }} = 7^{2,8 - 0,7}  = 7^{2,1} .

Правильный ответ: 2.

A2. Найдите значение выражения 12\log _6 (6^2).

1. 2^{12} 2. 144 3. 24 4. 14

       Решение. Так как \log_a a = 1 и \log_a x^n = n\log _a x при x > 0 имеем:

12\log _6 (6^2) = 2 \cdot 12\log _6 6 = 2 \cdot
12 \cdot 1 = 24.

Правильный ответ: 3.

A3. Вычислите \sqrt[3] {125 \cdot 0,027}.

1. 1,5 2. 0,15 3. 15 4. 0,015

       Решение. Используя формулы \sqrt[n] {ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} и \sqrt[n]{a^n} = a (a > 0,\;b > 0), получаем:

\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}} = \sqrt[3]{{125}} \cdot
\sqrt[3]{{0,027}} = \sqrt[3]{{5^3 }} \cdot \sqrt[3]{{0,3^3 }} = 5 \cdot
0,3 = 1,5.

Правильный ответ: 1.

A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке [ - 1;\;2]?

1. 2.
3. 4.

       Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.
Правильный ответ: 4.

A5. Найдите множество значений функции y = \frac{7}{3}\cos x.

1. [ - 1;\;1] 2. \left[-\frac{7}{3};\;\frac{7}{3}} \right] 3. \left[ {0;\;\frac{7}{3}} \right] 4. ( - \infty ;\; + \infty )

       Решение. Так как |\cos x| \le 1, имеем:

 - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \; - \frac{7}{3} \le \frac{7}{3}\cos x \le \frac{7}{3}.

Правильный ответ: 2.

A6. Найдите область определения функции f(x) = \frac{{31}}{{4 - \sqrt[4]{x}}}.

1. [0;\;256) \cup (256;\; + \infty ) 2. ( - \infty ;\;256) \cup (256;\; + \infty )
3. [0;\;4) \cup (4;\; + \infty ) 4. [0;\; + \infty )

       Решение. Область определения данной функции задается системой \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.
Имеем:

\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{\begin{array}{l} x \ge 0, \\\sqrt[4]{x} \ne 4 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0, \\x \ne 256 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l}0 \le x < 256, \\256 < x <  + \infty.  \\\end{array} \right.

Правильный ответ: 1.

A7. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x), заданных на промежутке . Укажите те значения x, для которых выполняется неравенство f(x) \le g(x).

1. [ - 1;\;1]
2. [ - 2;\;2]
3. [ - 3;\; - 1] \cup [1;\;6]
4. [ - 3;\; - 2] \cup [2;\;6]

       Решение. Для решения задачи достаточно указать абсциссы всех тех точек графика функции y = f(x), которые лежат не выше точек графика функции y = g(x).
Правильный ответ: 1.

A8. Найдите производную функции y = \frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17.

1. y' = 7x^5 - 20x^3
2. y' = \frac{1}{6}x^7 - x^5 - 17x
3. y' = 7x^7 - x^5 - 17x
4. y' = 7x^5 - 9x^3

       Решение. Пользуясь формулой (x^p )' = px^{p - 1} и правилами дифференцирования, получаем:

\left( {\frac{7}{6}x^6 - 5x^4  - 17x} \right)^\prime = 6 \cdot \frac{7}{6}x^5 - 4 \cdot 5x^3  = 7x^5  - 20x^3 .

Правильный ответ: 1.

A9. Решите уравнение {\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1.

1. - \pi + 4\pi n,\;n \in \mathbb{Z}
2. - \frac{\pi }{{16}} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}
3. - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}
4. - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}

       Решение.

{\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1 \Leftrightarrow 4x = - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}.

Правильный ответ: 3.

A10. Решите неравенство \log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}}(4x).

1. ( - \infty ;\;6) 2. \left( \frac{6}{5};\;6 \right) 3. \left( \frac{6}{5};\; + \infty ) 4. (6;\; + \infty )

       Решение. Пользуясь свойствами логарифмической функции, основание которой меньше 1, имеем:

\log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}} (4x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 6 < 4x, \\ 5x - 6 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 6, \\ x > \frac{6}{5} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{5} < x < 6.

Правильный ответ: 2.


Часть B

B1. Решите уравнение 4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80.
       Решение. Поскольку 4^{x + 2} = 4^x \cdot 4^2 , вынося за скобки общий множитель 4^x, получаем:

4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80 \Leftrightarrow 4^x
(4^2  - 11) = 80 \Leftrightarrow 5 \cdot 4^x  = 80 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 4^x = 16 \Leftrightarrow 4^x  = 4^2 \Leftrightarrow x = 2.

Ответ: \{2\}.

B2. Решите уравнение 4 \cdot 5^{\log _5 x}  = 2x + 3.
       Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством и учитывая условие существования логарифма, имеем:

4 \cdot 5^{\log _5 x} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = 2x + 3, \\ x > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.

Ответ: \left\{\frac{3}{2}\right\}.

B3. Найдите значение выражения 3\cos \left(
{\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi  - \alpha ), если \sin \alpha = \frac{3}{10}.
       Решение. Пользуясь формулами приведения, получаем:

3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi  - \alpha ) =  - 3\sin \alpha  + \sin \alpha  =  - 2\sin \alpha  = - \frac{3}{5}.

Ответ: - \frac{3}{5}.

B4. Вычислите: 7\log _{9\sqrt[3]{3}}
(27\sqrt[3]{3}).
       Решение. Последовательно используем свойства степеней и логарифмов:

7\log _{9\sqrt[3]{3}} (27\sqrt[3]{3}) = 7\log _{3^2  \cdot
3^{\frac{1}{3}} } (3^3  \cdot 3^{\frac{1}{3}} ) = 7\log_{3^{\frac{7}{3}} } (3^{\frac{{10}}{3}} ) = 7 \cdot \frac{3}{7} \cdot
\frac{{10}}{3}\log _3 3 = 10.

Ответ: 10.

B5. К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции.
       Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 равен значению производной функции y = f(x) в этой точке, т.е. f'(4).
Ответ: - 2.

B6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = 2^{(x - 2)^2 - 3} на отрезке .
       Решение. Парабола y = (x - 2)^2 - 3, ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке (2; - 3), следовательно, функция f(x) = (x - 2)^2 - 3 убывает на отрезке [0;\,2] и возрастает на отрезке [2;\,3]. Имеем: f(0) = 1, f(2) = - 3, f(3) = - 2. Показательная функция с основанием, большим 1, – функция возрастающая, откуда \mathop {\max }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} )
= 2^1  = 2, \mathop {\min }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} ) = 2^{ - 3} = \frac{1}{8} = 0,125.
       Искомая разность равна 2 - 0,125 = 1,875.
Ответ: 1,875.

B7. Решите уравнение 16x^2  - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3  + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right).
       Решение.

16x^2 - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3  + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)
 \Leftrightarrow 16x^2  - 24x + 12 = 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3}.

       Парабола y = 16x^2 - 24x + 12, ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке (x_0 ;\;y_0 ), где x_0  = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24}}{{2 \cdot 16}} = \frac{3}{4}, y_0  = y(x_0 ) = 3. Следовательно, 16x^2  - 24x + 12 \ge 3.
       С другой стороны, имеем \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \ge 0 \Rightarrow 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \le 3.
       Таким образом, данное уравнение равносильно системе \left\{\begin{array}{l}16x^2  - 24x + 12 = 3, \\ 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} = 3. \\
\end{array} \right.
       Единственное решение первого уравнения системы, x = \frac{3}{4}, удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, это решение системы.
Ответ: \left\{\frac{3}{4}\right\}.

B8. Найдите значение функции y = f(x)g( - x) + 2f( - x) в точке x_0 , если известно, что функция y = f(x) – четная, функция y = g(x) – нечетная, f(x_0 ) = 2, g(x_0 ) =  - 3.
       Решение. По условию, функция y = f(x) – четная, а функция y = g(x) – нечетная, следовательно, f( - x) = f(x), g( - x) =  - g(x). Тогда данная функция y = f(x)g( - x) + 2f( - x) принимает вид y = - f(x)g(x) + 2f(x), откуда находим:  - f(x_0 )g(x_0 ) + 2f(x_0) =  - 2 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 2 = 10.
Ответ: 10.

B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 4:5:7. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 7\% и из второй – тоже на 7\%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?
       Решение. Примем объем ежегодной добычи нефти из первой скважины за , тогда объемы ежегодной добычи нефти второй и третьей скважинами равны соответственно и , а суммарный объем ежегодной добычи нефти равен 16a. После уменьшения годовой добычи нефти из первой и второй скважин на 7\% объем добываемой из них нефти будет равен 0,93(4a + 5a) = 8,37a и на «долю» третьей скважины останется 16a - 8,37a = 7,63a. Пусть n – то количество процентов, на которое нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился. Тогда имеем (1 + 0,01n) \cdot 7a = 7,63a, откуда 1 + 0,01n = 1,09 и, окончательно, n = 9.

Ответ: 9.

B10. Основание прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 — параллелограмм ABCD, в котором AB = 4, \angle ABC = 30^\circ. Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ADC_1
.
       Решение. Построим высоту параллелограмм ABCD и соединим отрезком точки C_1 и . (см. рис.). Поскольку ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 – прямая призма, C_1 C \bot (ABC). Значит – проекция наклонной C_1 K на плоскость , и, на основании теоремы о трех перпендикулярах, C_1 K \bot AD. Следовательно, угол C_1 KC – линейный угол двугранного угла C_1 ADC. Основание данной призмы – параллелограмм ABCD, откуда, на основании свойств параллелограмма, CD = AB, \angle CDA = \angle ABC.
       Далее находим:
а) из прямоугольного треугольника CDK: CK = CD\sin \hat D = 4 \cdot \sin 30^\circ = 2;
б) из прямоугольного треугольника C_1 KC: {\mathop{\rm tg}\nolimits} \hat K = \frac{{C_1 C}}{{CK}} = \frac{3}{2}.

Ответ: \left\{\frac{3}{2}\right\}.

B11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна 8, а синус угла между диагональю и основанием равен \frac{2}{{\sqrt {13}}}.
       Решение. Пусть ABCD – данная трапеция (AD\parallel BC), отрезки и – ее высоты (см. рис). Поскольку ABCD – равнобедренная трапеция, AK = MD = \frac{{AD - BC}}{2}, откуда AM = AD - MD = AD - \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{AD + BC}}{2}. Таким образом, отрезок равен средней линии трапеции и, следовательно, S_{ABCD} = AM \cdot CM.
       Из прямоугольного треугольника находим:

AC = \frac{{CM}}{{\sin \angle CAM}} = \frac{{8 \cdot \sqrt {13}}}{2} = 4\sqrt {13} ; AM = \sqrt {AC^2  - CM^2 } = \sqrt
{16 \cdot 13 - 64}  = \sqrt {16 \cdot 9} = 12.

       Окончательно имеем S_{ABCD} = 12 \cdot 8 = 96.
Ответ: 96.

Часть C

C1. Решите уравнение \sin 0,8x = ( \sqrt
{4 - x^2 })^2 + x^2 - 3.
       Решение. Область допустимых значений (ОДЗ) задается неравенством 4 - x^2 \ge 0, решая которое, получаем  - 2 \le x \le 2. На этом множестве имеем

\sin 0,8x = ( \sqrt {4 - x^2 })^2  + x^2  - 3 \Leftrightarrow \sin 0,8x = 4 - x^2  + x^2  - 3 \Leftrightarrow
\sin 0,8x = 1 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 0,8x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi k}}{2}, k \in \mathbb{Z}.

       Далее имеем:
а) если k \le - 1, то x \le \frac{{5\pi }}{8} -
\frac{{5\pi }}{2} =  - \frac{{15\pi }}{8} <  - \frac{{15 \cdot 3}}{8} <
 - 2;
б) если k \ge 1, то x \ge \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{25\pi }}{8} > \frac{{25 \cdot 3}}{8} >
2;
в) если k = 0, то \;x = \frac{{5\pi }}{8} < \frac{{5
\cdot 3,2}}{8} = 2.
Таким образом, x = \frac{{5\pi }}{8} – единственный корень данного уравнения.
Ответ: \left\{ {\frac{{5\pi }}{8}} \right\}.

С2. Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = \log _{36} (9x + 27) и g(x) = 1,25 меньше, чем 0,25.
       Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства |{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25.
       Решим это неравенство:

|{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25 \Leftrightarrow - 0,25 < \log _{36} (9x + 27) - 1,25 < 0,25 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 1 < \log _{36} (9x + 27) < 1,5 \mathop  \Leftrightarrow \limits_{36 > 1} 36 < 9x + 27 < 216 \Leftrightarrow 1 < x < 21.

Ответ: (1;\, 21).

С3. Требуется разметить на земле участок A B C D E F G H площадью 2000 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где FG = BC = 20, EF = 10 и CD \ge 15. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых периметр является наименьшим.
       Решение. Обозначим через x, y и S соответственно длины отрезков LH, KL и площадь участка A B C D E F G H. Тогда периметр данного участка выражается формулой P = 2(x + y).
О       ценим площадь прямоугольника AKLH:

S_{AKLH} = S + EF \cdot FG + CD \cdot BC = 2000 + 200 + 20 \cdot CD \ge 2200 + 20 \cdot 15 = 2500.

       Значит, xy \ge 2500, откуда, учитывая y > 0, получаем y \ge \frac{{2500}}{x}. Следовательно, P \ge 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right).
       Найдем наименьшее значение функции P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right) на промежутке (0;\; + \infty). (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: (15;\; + \infty).)
       На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем \frac{{x + \frac{{2500}}{x}}}{2} \ge \sqrt {x \cdot \frac{{2500}}{x}} \Leftrightarrow x + \frac{{2500}}{x} \ge 100. При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда x = \frac{{2500}}{x}, откуда, учитывая x > 0, получаем x = 50. (Исследование функции P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right) можно было также провести с помощью производной.)
       Таким образом, P(50) = 200 – наименьшее значение функции P(x) на промежутке (0;\; + \infty ), и достигается оно при x = y = 50. При этом CD = 15.
Ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.

C4. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB:FA = 13:3. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 1,5. Точка M выбрана на ребре BC так, что BM:MC = 2:3. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и B. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна 4\pi. Найдите объем пирамиды ACMT.
       Решение. Опустим перпендикуляры TK и CE из точек T и C соответственно на плоскости ABC и ABF и перпендикуляр TN из точки T на прямую BC, а также построим отрезки KN и KM (см. рис).
       Поскольку плоскости ABF и ABC перпендикулярны, точки K и E лежат на их линии пересечения – прямой AB и отрезки TK и CE перпендикулярны AB. Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, KN \bot BC, так как KN – проекция TN на плоскость ABC.
       Отрезки BK и KM – проекции равных наклонных BT и MT на плоскость ABC, следовательно, BK = KM. Таким образом, отрезок KN является высотой равнобедренного треугольника BKM, а, следовательно, является и его медианой, откуда BN = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{5}BC.
       Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, следовательно, AB – диаметр 2R этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы AFB и ACB – вписанные углы, опирающиеся на диаметр AB, следовательно, AC \bot BC и AF \bot BF.
       Так как BE – проекция BC на плоскость ABF, угол CBE является углом между прямой BC и плоскостью ABF.
       Далее имеем:
1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды FABC, равна 4\pi, откуда 4\pi R^2 = 4\pi, R =
1, AB = 2.
2) Прямые KN и AC параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой BC, следовательно, \Delta KBN \sim \Delta ABC, откуда \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{5}, BK = \frac{1}{5}AB, а, значит, AK = \frac{4}{5}AB = \frac{8}{5}.
3) В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла B равен \frac{3}{2}, следовательно, AC = \frac{3}{2}BC. Тогда BC^2 + AC^2 = AB^2, BC^2 + \frac{9}{4}BC^2 = 4, BC^2 = \frac{{16}}{{13}}, S_{\Delta ABC}  = \frac{1}{2}BC \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot \frac{3}{2}BC = \frac{3}{4}BC^2  = \frac{{12}}{{13}}.
4) Треугольники ABC и AMC имеют общую высоту, проведенную из вершены A, следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований MC и BC, откуда получаем \frac{{S_{\Delta AMC} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{MC}}{{BC}} =
\frac{3}{5}, S_{\Delta AMC} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} = \frac{{36}}{{65}}.
5) Прямоугольные треугольники ATK и AFB подобны, так как имеют общий острый угол A, следовательно, \frac{{KT}}{{FB}} = \frac{{AK}}{{FA}}, откуда KT = \frac{{FB}}{{FA}} \cdot AK = \frac{{13}}{3} \cdot \frac{8}{5} = \frac{{104}}{{15}}.
       Окончательно имеем

V_{ACMT} = \frac{1}{3}S_{\Delta ACM} KT = \frac{{36 \cdot
104}}{{3 \cdot 65 \cdot 15}} = \frac{{416}}{{325}}.

Ответ: \frac{416}{325}.

C5. Найдите все значения a, при каждом из которых оба числа a \cdot 4^a и 4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5} - a^2  \cdot 16^{a - 0,5} + 1} \right) являются решениями неравенства \log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0.
       Решение. Пусть a \cdot 4^a = t. Тогда

4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5}  - a^2  \cdot 16^{a - 0,5}  +
1} \right) = 4\left( {\frac{{a \cdot 4^a }}{{4^{0,5} }} - \frac{{a^2 
\cdot 4^{2a} }}{{16^{0,5} }} + 1} \right) =
= 2t - t^2  + 4 =  - (t - 1)^2  + 5.

       Решим теперь неравенство \log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0.
1) Если 0,5 < x < 1,5, то данное неравенство равносильно системе неравенств \left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1, \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0. \\\end{array} \right.
       Решая эту систему, последовательно получаем:

\left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1 \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 4 \\
\frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3x + 15}}{{x - 6}} \le 0 \\\frac{{ - 3}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \ge 0 \\ x - 6 < 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 5.

       Таким образом, все числа промежутка (0,5;\, 1,5) являются решениями данного неравенства.
2) Если x > 1,5, то данное неравенство равносильно неравенству \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1, решая которое, получаем:

\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \le 0 \Leftrightarrow 5 \le x < 6.

       Так как все числа промежутка [5;\, 6) удовлетворяют условию x > 1,5, они являются решениями данного неравенства.
       Итак, множество (0,5;\;1,5) \cup [5;\;6) – есть множество решений данного неравенства и, по условию, числа t и  - (t - 1)^2  + 5 должны принадлежать этому множеству.
       Точка (1;\, 5) – вершина параболы z(t) =  - (t - 1)^2  + 5, ветви которой направлены вниз.
       На промежутке [5;\, 6) функция z(t) =  - (t - 1)^2  + 5 убывает и, если t \in [5;\;6), то z(t) \le z(5) = - 11, т.е. в этом случае число  - (t - 1)^2  + 5 не является решением данного неравенства.
       Если t \in (0,5;\;1,5), то z_1  < z(t) \le 5, где z_1 – меньшее из чисел z(0,5) и z(1,5). Поскольку z(0,5) = z(1,5) = 4,75, в этом случае только число z(1) = 5 является решением данного неравенства.
       Итак, только при t = 1 оба числа являются решениями данного неравенства.
       Осталось решить относительно a уравнение a \cdot 4^a  = 1. (1)
       При a \le 0 левая часть уравнения (1) неположительна, а правая положительна, значит, уравнение не имеет неположительных корней.
       При a > 0 уравнение (1) равносильно уравнению 4^a = \frac{1}{a}. (2)
       Поскольку y = 4^a – возрастающая функция, а функция y = \frac{1}{a} убывает при a > 0, уравнение (2) имеет на промежутке (0;\; + \infty ) не более одного корня. Подбором находим a = \frac{1}{2}.
Ответ: \frac{1}{2}.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке