Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2004 года

Единый государственный экзамен по математике, 2004 год

Часть A

A1. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения.

1. (-3; -2)
2. (1; 4)
3. (-3; 0)
4. (0; 4)

Решение. Функция отрицательна на тех промежутках, на которых ее график лежит ниже оси абсцисс; для заданной функции это интервал (1; 4).

Правильный ответ: 2.

A2. Найдите множество значений функции $y = \sin x - 3$ .

1. [-3; -2]
2. [-1; 1]
3. $(-\infty; +\infty)$
4. [-4; -2]

Решение. В силу ограниченности функции $y = \sin x$ и свойств неравенств имеем:

$-1 \le \sin x \le 1 \Leftrightarrow -4 \le \sin x - 3 \le -2$ .

Правильный ответ: 4.

A3. Найдите производную функции $y = - \frac{6}{5} x^5 + 4 x^3 - 12$ .

1. $y' = -0,\!2x^6 + x^4 - 12x$
2. y' = -6x^4 + 12x^2
3. y' = -6x^4 + 7x^2
4. y' = -6x^4 + 12x^2 - 12x

Решение. Поскольку $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ и (const)' = 0 , пользуясь правилами дифференцирования, получаем:

$y' = -\frac{6}{5} \cdot 5 \cdot x^4 + 4 \cdot 3 \cdot x^2 - 0 = -6x^4 + 12x^2$ .

Правильный ответ: 2.

A4. Укажите область определения функции $y = \frac{1}{2^{6x-13} - 2^5}$ .

1. $\left( -\infty; -\frac{4}{3} \right) \cup \left( -\frac{4}{3}; +\infty \right)$
2. $\left( -\infty; \frac{15}{2} \right) \cup \left( \frac{15}{2}; +\infty \right)$
3. $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$
4. $\left( -\infty; \frac{4}{3} \right) \cup \left( \frac{4}{3}; +\infty \right)$

Решение. Область определения функции задается неравенством $2^{6x-13} - 2^5 \ne 0$ . Имеем:

$2^{6x-13} \ne 2^5 \Leftrightarrow 6x - 13 \ne 5 \Leftrightarrow x \ne 3$ .

Правильный ответ: 3.

A5. Вычислите $125^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-1}$ .

1. 7
2. 4,5
3. 3
4. 25,5

Решение. Поскольку $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$ , имеем:

$125^{\frac{1}{3}} + \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = (5^3)^{\frac{1}{3}} + (2^{-1})^{-1} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} + 2^{-1 \cdot -1} = 5^1 + 2^1 = 5 + 2 = 7$ .

Правильный ответ: 1.

A6. Упростите выражение $\frac{\sqrt[5]{a^{11}}}{\sqrt[5]{a}}$ .

1. $a^{\frac{12}{5}}$
2. a^5
3. a^2
4. $a^{\frac{11}{5}}$

Решение. Поскольку $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ и $\frac{a^n}{a^m} = a^{x-y}$ , получаем:

$\frac{\sqrt[5]{a^{11}}}{\sqrt[5]{a}} = a^{\frac{11}{5}} : a^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{11}{5} - \frac{1}{5}} = a^{\frac{10}{5}} = a^2$ .

Правильный ответ: 3.

A7. Вычислите $\log _3 {\frac{1}{2}} + \log _3 6$ .

1. 1
2. 2
3. –1
4. 0

Решение. Используя формулу преобразования суммы логарифмов в логарифм произведения, имеем:

$\log _3 {\frac{1}{2}} + \log _3 6 = \log _3 {\left( \frac{1}{2} \cdot 6 \right)} = \log _3 3 = 1$ .

Правильный ответ: 1.

A8. Решите неравенство $2^{(5x+7)} \le 8^x$ .

1. $\left( -\infty; -\frac{7}{2} \right]$
2. $\left( -\infty; -\frac{7}{4} \right)$
3. $\left( -\frac{7}{4}; +\infty \right)$
4. $\left[ -\frac{7}{2}; +\infty \right)$

Решение. Перейдем к основанию степени 2 и воспользуемся возрастанием показательной функции, с основанием большим единицы:

$2^{(5x+7)} \le 8^x \Leftrightarrow 2^{(5x+7)} \le 2^{3x} \mathop \Leftrightarrow \limits_{2 > 1} 5x+7 \le 3x \Leftrightarrow 2x \le -7 \Leftrightarrow x \le -\frac{7}{2}$ .

Правильный ответ: 4.

A9. Какому промежутку принадлежит корень уравнения $\log _5 {(27+x)} - \log _5 2 = \log _5 {(7x)}$ ?

1. (0; 2)
2. (2; 4)
3. (4; 6)
4. (-3; 0)

Решение. Пользуясь теоремами равносильности, последовательно получаем:

Найденный корень принадлежит промежутку (2; 4).

Правильный ответ: 2.

A10. Решите неравенство $\frac{(1+4x)(x+3)}{2-x} \ge 0$ .

1.
2.
3.
4.

Решение. Решим данное неравенство методом интервалов (см. рис.):

Правильный ответ: 2.

A11. Решите уравнение $\sin (\pi - x) = \frac{\sqrt 2}{2}$ .

1.
2.
3.
4.

Решение. Последовательно получаем:

Правильный ответ: 3.

A12. К графику функции f(x) = 3x^2 + 5x - 15 в точке с абсциссой $x_0 = \frac{1}{6}$ проведена касательная. Найдите тангенс угла наклона касательной к оси Ox.

1. 6
2. 11
3. 7
4. 4

Решение. Тангенс угла наклона к оси Ox касательной к графику функции, проведенной в его точке с абсциссой x_0 , равен значению производной данной функции в точке x_0 . Найдем производную и вычислим ее значение в заданной точке:

Правильный ответ: 1.

A13. Найдите значение $\mathop \tg \alpha$ , если $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt 5}$ и $\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \pi$ .

1. –2
2. 2
3.
4.

Решение. Поскольку число $\alpha$ лежит во второй координатной четверти, его косинус отрицателен, откуда

Тогда

Правильный ответ: 4.

A14. На рисунке изображен график функции y = f(x) . Какому из следующих промежутков принадлежит корень уравнения f(x) - 4 = 0 ?

1.
2.
3.
4.

Решение. Уравнение f(x) - 4 = 0 равносильно уравнению f(x) = 4 . Найдем точку графика с ординатой равной 4, и определим ее абсциссу (см. рис.). Найденное число лежит в промежутке (-7; -6) .

Правильный ответ: 3.

Часть B

B1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 - 8 , x = 3 , x = 4 , y = 0 .

Решение. Изобразим на рисунке эскизы графиков функций y = x^3 - 8 , y = 0 , и прямые x = 3 , x = 4 . Фигура, площадь которой требуется найти, на рисунке заштрихована. Площадь этой фигуры S дается формулой :

Правильный ответ: 35,75.

B2. Функция y = f(x) определена на промежутке (a; b) . На рисунке изображен график ее производной. Укажите число точек максимума функции на промежутке (a; b) .

Решение. Дифференцируемая функция достигает максимума в некоторой точке, если в левой полуокрестности этой точки ее производная положительна, а в правой — отрицательна. На заданном графике таких точек четыре.

Правильный ответ: 4.

B3. Найдите значение выражения $\sqrt{19} \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right)$ , если $\cos x = \frac{4}{\sqrt{19}}$ и $\pi \le x \le 2\pi$ .

Решение. Поскольку $\pi \le x \le 2\pi$ , имеем:

Далее, используя формулу $\cos (\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ , получаем:

Правильный ответ: 0,5.

B4. Сколько корней имеет уравнение ?

Решение. Поскольку , получаем:

Таким образом, данное уравнение имеет три корня.

Правильный ответ: 3.

B5. Найдите точку минимума функции .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием большим единицы монотонно возрастает, точка минимума заданной функции совпадает с точкой минимума квадратного трехчлена g(x) = x^2 - 7x + 13 , если он положителен в этой точке. Квадратный трехчлен g(x) = ax^2 + bx + c с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке $x_{min} = - \frac{b}{2a}$ . В нашем случае: $x_{min} = \frac{7}{2}$ , тогда

Таким образом, число 3,5 — искомая точка минимума функции f(x) .

Правильный ответ: 3,5.

B6. Укажите наибольшее целое число из области определения функции $y = (35 - |3x - 11|)^{-0,\!5}$ .

Решение. Область определения данной функции задается неравенством 35 - |3x - 11| > 0 . Решим его:

Тем самым область определения данной функции есть интервал . Наибольшее целое число из этого интервала равно 15.

Правильный ответ: 15.

B7. На каждый из нескольких опытных участков внесли два удобрения. Первое вносили по такой схеме: 0,5 кг — на первый участок, а на каждый следующий участок на 0,5 кг больше, чем на предыдущий. Второе удобрение вносили по 3 кг на каждый участок. Всего внесли 42 кг удобрений. На сколько участков внесли удобрения?

Решение. Пусть искомое число участков n. Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии , получим количество внесенных килограммов первого удобрения:

Поскольку второго удобрения внесли 3n кг, а всего внесли 42 кг удобрений имеем уравнение: , откуда:

Таким образом, удобрения внесли на 8 участков.

Правильный ответ: 8.

B8. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания равна $6\sqrt{3}$ , а боковое ребро наклонено к плоскости основания ABC под углом, тангенс которого равен $\frac{4}{3}$ . Найдите площадь треугольника MSC, где M — середина отрезка AB.

Решение. Пусть SO — высота пирамиды (см. рис.). Поскольку пирамида правильная, ее основанием является равносторонний треугольник, а точка О — его центр, $O \in CM$ .

Отрезок CM — медиана, и, следовательно, высота правильного треугольника ABC, откуда .

Отрезок СO – радиус окружности, описанной около треугольника ABC, следовательно, .

Поскольку угол между боковым ребром и плоскостью основания есть угол между наклонной SC и ее проекцией на плоскость основания CO, имеем .

Окончательно имеем: .

Правильный ответ: 36.

B9. В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 15, диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Решение. Пусть ABCD — заданная трапеция, AD = 15 , BC = 9 , BB' и CC' — высоты трапеции (см. рис.).

Заданная трапеция равнобедренная, поэтому:

Отрезок CC' – высота прямоугольного треугольника ACD, опущенная из вершины прямого угла С на гипотенузу AD, откуда

Тогда

Правильный ответ: 72.

Часть C

C1. Решите систему уравнений

Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Пусть $\frac{3x - y}{4} = t$ , тогда 3x - y = 4t , 6x - 2y = 8t и уравнение принимает вид $\sqrt{8t - 7} = t + 1$ . Имеем:

Таким образом, возможны два случая: 3x - y = 16 или 3x - y = 8 .

Если 3x - y = 16 система не имеет решений, так как знаменатель левой части второго уравнения обращается в нуль.

Рассмотрим случай 3x - y = 8 . Имеем:

Таким образом, исходная система уравнений имеет одно решение: (3; 1) .

Ответ: (3; 1) .

C2. Найдите наименьшее значение периметра прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат, и с диагональю OM, где O — начало координат, а M — точка на графике функции , .

Решение. Пусть абсцисса точки М равна х, тогда ее ордината y равна .

Заметим, что функция возрастает на своей области определения — открытом луче $(8; +\infty)$ , и обращается в нуль в точке 12. Поэтому заданная функция убывает промежутке (8; 12) и принимает на только положительные значения. Это означает, что для всех х из отрезка $[9; 11,\!5]$ точка лежит в первой четверти.

Тогда, периметр прямоугольника равен . Осталось найти наименьшее значение функции на отрезке $[9; 11,\!5]$ .

Найдем производную функции p(x) :

Найденная производная обращается в нуль в точке x = 11 , отрицательна на полуинтервале [9; 11) и положительна на полуинтервале $(11; 11,\!5]$ . Тем самым точка x = 11 — точка минимума, причем это единственная точка экстремума непрерывной на заданном отрезке функции. Поэтому p(11) есть наименьшее на отрезке $[9; 11,\!5]$ значение исследуемой функции. Найдем его:

Таким образом, наименьшее значение периметра прямоугольника равно .

Ответ: .

C3. В кубе ABCDA'B'C'D' с ребром, равным $2\sqrt{3}$ , расположен конус. Вершина конуса находится в точке , а центр его основания, точка O, лежит на диагонали BD' так, что $\frac{BO}{OD'} = \frac{1}{3}$ . Окружность основания конуса имеет с каждой гранью, содержащей точку B, ровно по одной общей точке. Определите объем конуса.

Решение. Длина диагонали основания куба равна $BD = \sqrt{2} BC = 2\sqrt{6}$ ; длина диагонали куба равна $BD' = \sqrt{3} BC = \sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 6$ , тогда $BO = \frac{1}{4} BD' = \frac{3}{2}$ , $OD' = \frac{3}{4} BD' = \frac{9}{2}$ — это длина высоты конуса.

Пусть точка – точка касания основания конуса с основанием ABCD данного куба. Рассмотрим сечение куба и конуса плоскостью BB'D'D . Эта плоскость является плоскостью симметрии как квадрата ABCD, так и окружности основания конуса. Окружность основания конуса имеет с гранью ABCD ровно одну общую точку, следовательно, эта точка принадлежит плоскости симметрии, откуда следует, что точка лежит на диагонали основания BD.

Поскольку прямоугольные треугольники BOO' и BDD' имеют общий угол В, они подобны, что позволяет найти радиус основания конуса — отрезок OO' (см. рис.):

Тогда

Ответ: $\frac{27}{16} \pi$ .

C4. Найдите все положительные значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства |ax + 3|x| - 5| < 1 содержится в некотором отрезке длиной 20 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 10.

Решение. Решим данное неравенство при a > 0 :

Если $x \ge 0$ , имеем

причем, все числа из интервала $\left( \frac{4}{a + 3}; \frac{6}{a + 3} \right)$ удовлетворяют условию $x \ge 0$ .

Если x < 0 , имеем

В зависимости от знака выражения a - 3 , рассмотрим два случая:

а) если $a \ge 3$ , то неравенство 4 < x(a - 3) < 6 , а вместе с ним и исходное неравенство не имеют отрицательных решений;

б) если a < 3 , имеем

$4 < x(a-3) < 6 \Leftrightarrow \frac{4}{a - 3} > x > \frac{6}{a - 3}\Leftrightarrow \frac{6}{a - 3} < x < \frac{4}{a - 3}$ ,

причем все числа из интервала $\left( \frac{6}{a - 3}; \frac{4}{a - 3} \right)$ , удовлетворяют условию x < 0 .

Таким образом, при $a \ge 3$ множество решений заданного неравенства есть интервал $\left( \frac{4}{a + 3}; \frac{6}{a + 3} \right)$ , а при 0 < a < 3 — объединение интервалов: $\left( \frac{6}{a - 3}; \frac{4}{a - 3} \right) \cup \left( \frac{4}{a + 3}; \frac{6}{a + 3} \right)$ .

Осталось определить, при каких значениях параметра множество решений содержится в некотором отрезке длиной 20 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 10.

Поскольку $\frac{6}{a + 3} - \frac{4}{a + 3} = \frac{2}{a + 3} < \frac{2}{3}$ при a > 0 , интервал $\left( \frac{4}{a + 3}; \frac{6}{a + 3} \right)$ не содержит ни одного отрезка длиной 10. Следовательно, значения $a \ge 3$ не удовлетворяют условию задачи.

Множество $\left( \frac{6}{a - 3}; \frac{4}{a - 3} \right) \cup \left( \frac{4}{a + 3}; \frac{6}{a + 3} \right)$ содержится в некотором отрезке длиной 20 и при этом содержит какой-нибудь отрезок длиной 10, тогда и только тогда, когда одновременно выполняются два условия $\frac{6}{a + 3} - \frac{6}{a - 3} \le 20$ и $\frac{4}{a - 3} - \frac{6}{a - 3} \ge 10$ . Решим соответствующую систему для 0 < a < 3 :

Полученная система не имеет решений, поскольку $\sqrt{7,\!2} < 2,\!8 \Leftrightarrow 7,\!2 < 7,\!84$ . Это означает, что множество решений неравенства |ax + 3|x| - 5| < 1 не может одновременно содержаться в отрезке длины 20 и содержать отрезок длины 10.

Ответ: таких значений параметра а не существует.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке