Единый государственный экзамен по математике, 2007 год

Часть A

A1. Упростите выражение .

1.

2.

3.

4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 3.

A2. Вычислите: .

1.

2.

3.

4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 1.

A3. Найдите значение выражения .

1.

2.

3.

4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 4.

A4. Функция задана графиком. На каком из указанных промежутков она возрастает?

1.
2.
3.
4.

       Решение: только на промежутке для любых и из этого промежутка выполняется условие

.

A5. Найдите производную функции .

1.		2.
3.		4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 4.

A6. Найдите множество значений функции .

1.

2.

3.

4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 1.

A7. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она принимает только отрицательные значения.

1.
2.
3.
4.

       Решение: только на промежутке все точки графика расположены ниже оси абсцисс.
Правильный ответ: 2.

A8. Решите неравенство .

1.

2.

3.

4.

       Решение. Решим данное неравенство методом интервалов (см. рис.):

Правильный ответ: 4.

A9. Решите уравнение .

1.	,	2.	,
3.	,	4.	,

       Решение.

, .

Правильный ответ: 3.

A10. Решите неравенство .

1.

2.

3.

4.

       Решение.

.

Правильный ответ: 1.

Часть B

B1. Найдите значение выражения , если .
       Решение.

.

Ответ: 1.

B2. Решите уравнение .
       Решение.

.

Ответ: .

B3. Решите уравнение .
       Решение.

.

Ответ: .

B4. Найдите значение выражения , если известно, что
       Решение.

.

Ответ: .

B5. Функция определена на промежутке . На рисунке изображен график производной этой функции. К графику функции провели все касательные, параллельные прямой (или совпадающие с ней). Укажите количество точек графика функции, в которых проведены эти касательные.
       Решение. Угловой коэффициент всех касательных, параллельных прямой (или совпадающих с ней) равен . С другой стороны, угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания. Нетрудно видеть, что производная, график которой изображен на рисунке, принимает значение ровно в трех точках.
Ответ: 3.

B6. Найдите значение выражения .
       Решение:
а) преобразуем выражение :

;

б) раскроем модуль: ;
в) выполним сложение: .
Ответ: .

B7. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите произведение всех его корней.)
       Решение. Упростим левую часть уравнения:

.

Последнее уравнение равносильно совокупности двух систем:

и

       Решим первую систему:

.

       Решим вторую систему:

       Последняя система не имеет решений.
Ответ: –1,5.

B8. Функция определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при . Найдите значение выражения .
       Решение. Обозначим период данной функции через . Согласно условию , откуда

.

Ответ:.

B9. Две бригады работая вместе, ремонтировали дорогу в течение 6 дней, а затем одна вторая бригада закончила ремонт еще за 10 дней. За сколько дней могла бы отремонтировать дорогу одна первая бригада, если она может выполнить эту работу на 6 дней быстрее, чем одна вторая бригада?
       Решение. Пусть — количество дней, необходимое первой бригаде для ремонта дороги, тогда, согласно условию, второй бригаде требуется на ремонт дней. Примем за 1 объем всей работы по ремонту дороги. Тогда первая бригада выполняет за день часть всей работы, а вторая — часть всей работы. Поскольку первая бригада работала 6 дней, а вторая — 16 дней и за это время они выполнили всю работу, получаем уравнение , где по смыслу задачи . Далее имеем:

.

Ответ: 18.

B10. Точки и лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой к плоскости основания цилиндра равен , , объем цилиндра равен . Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
       Решение. Проведем в данном цилиндре образующую (см. рис.). Так как образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основания, прямая является проекцией прямой на плоскость основания цилиндра. Следовательно, угол является углом наклона прямой к плоскости основания цилиндра и его синус равен . Обозначим через величину угла , через длину образующей цилиндра, через радиус его основания, через объем и через площадь осевого сечении. Тогда имеем:
1. .
2. , откуда, учитывая , получаем .
3. .
Ответ: 60.

B11. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна , а его площадь равна . К основанию и стороне проведены высоты и , пересекающиеся в точке . Найдите площадь треугольника .
       Решение. Пусть — площадь треугольника . Тогда имеем:
1. , откуда .
2. . 3. .
4. .
5. , откуда .
Ответ: 24.

Часть C

C1. Найдите точки минимума функции .
       Решение. Область определения данной функции совпадает с множеством решений неравенства . Поскольку , получаем .
       На множестве имеем:

.

       Таким образом, требуется найти точки минимума функции на множестве .
       Найдем производную: .
       Решим уравнение на луче :

       Таким образом, — единственная точка минимума данной функции.
Ответ: .

C2. Решите уравнение .
       Решение. Умножим обе части уравнения на 2 и перегруппируем слагаемые:

.

       Пусть , где . Тогда и данное уравнение принимает вид , откуда, учитывая условие , получаем .
       Возвращаясь к переменной , находим

Ответ: .

C3. Найдите все значения , для которых при каждом из промежутка значение выражения не равно значению .
       Решение. Требуется найти все значения , для которых уравнение или равносильное ему уравнение не имеет решений на промежутке .

       Функция является четной, так как для любого . Следовательно, эта функция не имеет корней на промежутке тогда и только тогда, когда она не имеет корней на промежутке . С другой стороны, функция не имеет корней на множестве тогда и только тогда, когда функция не имеет корней на промежутке . Поскольку при любом значении параметра , это условие выполняется в одном из двух случаев: либо , либо (см. рис.).
       Учитывая, что , , получаем:

Ответ: .

C4. В прямоугольном параллелепипеде с боковыми ребрами , , , на сторонах , , его оснований лежат соответственно точки , , так, что , , . Во сколько раз объем параллелепипеда больше объема пирамиды с вершиной и основанием ?

       Решение. Обозначим через , и длины ребер , и параллелепипеда соответственно (см. рис.). Тогда объем параллелепипеда . Стороны и основания пирамиды лежат на параллельных прямых и . Кроме того, по условию, . Следовательно, – параллелограмм. Так как – прямоугольный параллелепипед, прямая перпендикулярна плоскости, в которой лежит прямая , откуда, согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, .
       Тогда площадь основания пирамиды . Отрезок — диагональ прямоугольника со сторонами и (см. рис.), следовательно, и .
       Опустим перпендикуляр из точки на прямую (см. рис.). Прямая перпендикулярна плоскости , в которой лежит прямая , следовательно, . Таким образом, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым и плоскости , следовательно, согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, она перпендикулярна самой этой плоскости. Значит отрезок — высота пирамиды . Прямоугольные треугольники и подобны, так как имеют общий острый угол , следовательно, , откуда

.

       Находим объем пирамиды :

.

Ответ: в семь раз.

Баллы	Критерии оценки выполнения задания С4
4	Приведена верная последовательность всех шагов решения: 1) обоснован тот факт, что основание пирамиды – параллелограмм; 2) обоснован тот факт, что отрезок – высота параллелограмма ; 3) обоснован тот факт, что отрезок – высота пирамиды ; 4) доказано подобие треугольников и ; 5) вычислена площадь параллелограмма ; 6) вычислен объем пирамиды . Верно приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории: а) определение прямой, перпендикулярной плоскости; б) признак перпендикулярности прямой и плоскости; в) признак подобия прямоугольных треугольников. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ.
3	Приведены все шаги решения 1) – 6). Приведены ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) – в). Допустимы отсутствие обоснований некоторых ключевых моментов или неточности в обоснованиях. Допустимы одна описка и/или вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этой ошибки или описки может быть получен неверный ответ.
2	Приведены все шаги решения 1) – 6). Ссылки на используемые при доказательстве положения теории а) – в) либо отсутствуют, либо приведены с ошибками, но сами эти положения теории использованы при решении. Допустимы описки и/или вычислительные ошибки, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате этих ошибок или описок может быть получен неверный ответ.
1	Ход решения правильный, но решение не завершено: частично приведены шаги решения. Найдены некоторые числовые характеристики пирамиды . Приведенные в решении обоснования и вычисления не содержат грубых ошибок, влияющих на правильность хода решения.
0	Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям выставления оценок в 1 – 4 балла.

C5. Докажите, что система уравнений:

не имеет решений.
       Решение. Область допустимых значений переменной совпадает с множеством решений неравенства . Решим это неравенство методом интервалов:

.

       Подбором находим один из корней числителя и делим многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера (можно выполнить деление, пользуясь алгоритмом деления «уголком»):

       Решая получившееся квадратное уравнение, находим:

.

       Далее имеем (см. рис.):

       Ясно, что первое уравнение системы не имеет положительных корней, так как при . Значит, ни одно из чисел промежутка не удовлетворяет первому уравнению. Подставляя в него , получаем верное равенство . Таким образом, — единственное значение переменной , удовлетворяющее первому уравнению системы.
       Подставив теперь во второе уравнение системы, получаем:

.(*)

       Если , то уравнение (*) не имеет решений, так как на этом промежутке , а .
       Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Следовательно, если , то , а если , то . Таким образом, на множестве . Так как при любом значении , то на множестве уравнение (*) также не имеет решений.
       Итак, данная система уравнений не имеет решений, что и требовалось доказать.