Единый государственный экзамен по математике, 2001 год
Часть A
A1. Найдите значение выражения .
Решение. Используя свойства степени получаем:
.
Правильный ответ: 1.
A2. Упростите выражение .
Решение. Используя свойства арифметического корня последовательно получаем:
![\frac{{\sqrt[3]{{a^2 }} - 16}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a})^2 - 4^2 }}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a} - 4)(\sqrt[3]{a} + 4)}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{\sqrt[3]{{a^2 }} - 16}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a})^2 - 4^2 }}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a} - 4)(\sqrt[3]{a} + 4)}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} =](/inc/pictures/d582404dbae0546d96093aa281fa6fb4.png)
.
Правильный ответ: 2.
A3. Упростите выражение .
Решение. Используя основное логарифмическое тождество и формулу преобразования разности логарифмов в логарифм частного, получаем:
Правильный ответ: 1.
A4. Решите неравенство .
Решение. Перейдем к одному основанию и воспользуемся убыванием показательной функции с основанием меньшим единицы:
.
Правильный ответ: 3.
A5. Укажите промежуток возрастания функции , заданной графиком.
Решение. Функция убывает на промежутках и . Функция возрастает на промежутке .
Правильный ответ: 4.
A6. Упростите выражение .
Решение. Используя формулу синуса двойного аргумента и формулу приведения, получим:
.
Правильный ответ: 2.
A7. Найдите производную функции .
Решение. Используя формулы , и , получим:
.
Правильный ответ: 1.
A8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .
Решение. Решим уравнение:
.
Корень уравнения принадлежит промежутку .
Правильный ответ: 2.
A9. Найдите область определения функции .
Решение. Область определения функции задается неравенством . Решим его методом интервалов.
Видно, что ; .з>
Правильный ответ: 3.
A10. Найдите значение производной функции в точке .
Решение. Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке. Найдем из треугольника (см. рис.): .
Правильный ответ: 4.
A11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .
Решение. Найдем критические точки данной функции на отрезке . Производная заданной функции есть , решениями уравнения являются числа и , из них отрезку принадлежит только число .
Вычислим значения функции в точке и на концах отрезка и выберем из них наименьшее: , , . Тогда искомое наименьшее значение есть .
Правильный ответ: 3.
A12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: , , .
Решение. Нарисуем эскизы графиков функций , , . Фигура, площадь которой требуется найти, на рисунке заштрихована. Площадь этой фигуры находим по формуле :
.
Правильный ответ: 2.
A13. Решите уравнение .
Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к квадратному относительно и решим его:
![2\cos ^2 x - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2(1 - \sin ^2 x) - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2\cos ^2 x - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2(1 - \sin ^2 x) - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow](/inc/pictures/644d62245c96c7ce711c951995b26b8e.png)
![](/inc/pictures/2ebacff1d41f64996dbd351f6eebaef3.png)
, .
Правильный ответ: 2.
Часть B
B1. Решите уравнение .
Решение. Используя теорему получим:
![\sqrt {2x + 7} - 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0, \\ 2x + 7 = (x + 2)^2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} - 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0, \\ 2x + 7 = (x + 2)^2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/e807909423237b35ed0926ed5d364746.png)
.
Ответ: .
B2. Найдите значение выражения .
Решение. (I способ). Воспользуемся формулами приведения и формулами косинуса и синуса двойного аргумента: и . Имеем
![\frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\sin ^2 (90^\circ - 63^\circ ) - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{2(\cos ^2 63^\circ - \sin ^2 63^\circ )}}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\sin ^2 (90^\circ - 63^\circ ) - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{2(\cos ^2 63^\circ - \sin ^2 63^\circ )}}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} =](/inc/pictures/1abee8d1db5ccc675a3c696ec2246478.png)
.
Решение. (II способ). Используем формулу понижения степени . Имеем
![\frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\frac{{1 - \cos 54^\circ }}{2} - \frac{{1 - \cos 126^\circ }}{2}}}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{ - \cos 54^\circ + \cos 126^\circ }}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\frac{{1 - \cos 54^\circ }}{2} - \frac{{1 - \cos 126^\circ }}{2}}}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{ - \cos 54^\circ + \cos 126^\circ }}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} =](/inc/pictures/16dbb1529afd46c8c93ddc83665b9c88.png)
.
Ответ: .
B3. Найдите точку максимума функции .
Решение. Найдем производную данной функции:
![f'(x) = (x^2 )' \cdot e^x + (e^x )' \cdot x^2 = 2x \cdot e^x + e^x \cdot x^2 = f'(x) = (x^2 )' \cdot e^x + (e^x )' \cdot x^2 = 2x \cdot e^x + e^x \cdot x^2 =](/inc/pictures/bcf0f7675c96ecb481d3e61bf584839b.png)
.
Найдем нули производной:
Поведение функции изображено на рисунке. Максимум функции достигается в точке .
Ответ: точка максимума: .
B4. Найдите меньший корень уравнения .
Решение. Данное уравнение является однородным относительно выражений и . Так как не равно нулю ни при каких значениях , разделив левую и правую часть уравнения на , получаем:
![3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {\frac{9}{4}} \right)^x - 5 \cdot \left( {\frac{6}{4}} \right)^x + 2 = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {\frac{9}{4}} \right)^x - 5 \cdot \left( {\frac{6}{4}} \right)^x + 2 = 0 \Leftrightarrow](/inc/pictures/c23dce297985a9bfa55f358f4862f213.png)
. (*)
Пусть . Тогда уравнение (*) принимает вид . Далее имеем:
Таким образом,
Итак, меньший корень уравнения равен .
Ответ: .
B5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта до пункта за ч, а от до — за ч. За сколько часов проплывет от до плот?
Решение. Пусть — расстояние между и , — скорость катера, — скорость течения реки ( , ). При движении из в скорость катера была , при движении из в скорость была . Решим систему:
Таким образом, скорость течения реки равна , и плот, движущийся со скоростью реки, пройдет пусть от до за часов.
Ответ: часов.
B6. Найдите число целых решений неравенства .
Решение. Поскольку второй множитель, в силу ограничения , отрицателен при всех значениях , имеем неравенство:
.
Таким образом, неравенство имеет 5 отрицательных целых решений, одно положительное и решение . Всего их 7.
Ответ: 7 штук.
B7. Найдите наибольшее целое значение параметра , при котором решение системы уравнений удовлетворяет неравенству .
Решение. Решим систему
![\left\{ \begin{array}{l} x + 7y = c, \\ 2x - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ 2(c - 7y) - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c - 7y, \\ 15y = 2c - 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ y = \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 7y = c, \\ 2x - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ 2(c - 7y) - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = c - 7y, \\ 15y = 2c - 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ y = \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/4706fb73c9423a95321ae1652082eb00.png)
Решим неравенство :
.
Наибольшим целым значением c, удовлетворяющим неравенству , является число 69.
Ответ: 69.
B8. Высота правильной треугольной пирамиды равна , двугранные углы при основании равны . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. Пусть — заданная пирамида (см. рисунок), — ее высота, — линейный угол двугранного угла при основании. Поскольку — правильная пирамида, основание ее высоты есть центр окружности, вписанной в треугольник , следовательно, — радиус этой окружности, откуда . Из прямоугольного треугольника находим , . Тогда .
Окончательно получаем
.
Ответ: .
B9. В конус с радиусом основания и высотой вписана треугольная призма, у которой все ребра равны. Найдите объем призмы.
Решение. Пусть ребро призмы равно , пусть окружность, описанная около верхнего основания — правильного треугольника — имеет радиус . Тогда ребро призмы есть .
Отношение площади сечения, параллельного основанию конуса, к площади основания равно отношению квадратов их расстояний до вершины конуса, откуда последовательно получаем
, , , , .
Тогда , откуда объем призмы равен:
.
Ответ: .
Часть C
C1. Для каждого допустимого значения параметра решите неравенство
.
Решение.
1. Если , то , , и мы имеем:
![\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/158ddbd045314109a5fff8ec799bfb59.png)
.
2. Если , то , и тогда:
![\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/158ddbd045314109a5fff8ec799bfb59.png)
![\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 13 > (x + 3)^2 , \\ x > - 3, \\ 3x + 13 > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 < 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 13 > (x + 3)^2 , \\ x > - 3, \\ 3x + 13 > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 < 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/4904995e3ecab0e3391233a33a93fc83.png)
.
Ответ: при , ; при , .
C2. Решите уравнение .
Решение. Левая часть уравнения не больше, а правая — не меньше единицы, следовательно, данное уравнение равносильно системам:
![\left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ 1 + \log _5^{\,2} (x^2 + x + 1) = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\\log _5 (x^2 + x + 1) = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ x^2 + x + 1 = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ 1 + \log _5^{\,2} (x^2 + x + 1) = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\\log _5 (x^2 + x + 1) = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ x^2 + x + 1 = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow](/inc/pictures/8682003b37282b564f4da90b0c4be227.png)
.
Ответ: .
C3. Найдите целые корни уравнения .
Решение.
![(6 - x)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = 24x^2 \Leftrightarrow (x - 6)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = - 24x^2 \Leftrightarrow (6 - x)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = 24x^2 \Leftrightarrow (x - 6)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = - 24x^2 \Leftrightarrow](/inc/pictures/ff2918f227492dfdecec33e3c7c56bb3.png)
![](/inc/pictures/1d49b689560134fd3d98adb606ac32da.png)
. (*)
Пусть . Тогда уравнение (*) принимает вид , откуда получаем
Таким образом,
Ответ: ; .
Оставить комментарий
Сообщить об ошибке
|