Математика → Методика → Олимпиады → Международное исследование образовательных достижений учащихся PISA → Математическая грамотность → Яблони

Яблони

Фермер на садовом участке высаживает яблони в форме квадрата, как показано на рисунке. Для защиты яблонь от ветра он сажает по краям участка хвойные деревья. Ниже на рисунке изображены схемы посадки яблонь и хвойных деревьев для нескольких значений , где — количество рядов высаженных яблонь. Эту последовательность можно продолжить для любого числа .

Вопрос 1. Заполните таблицу:

	Количество яблонь	Количество хвойных деревьев
1	1	8
2	4
3
4
5

       Решение.
       1-й способ. Яблони образуют квадрат из рядов по деревьев. Значит, всего яблонь n^2 . Вдоль каждой боковой стороны участка высажено 2n + 1 хвойное дерево. При сложении всех четырех боковых сторон каждое из четырех угловых деревьев будет посчитано дважды. Значит хвойных деревьев всего $4 \cdot (2n + 1) - 4 = 8n$ .
       2-й способ. Число хвойных деревьев можно посчитать по-другому. Согласно схеме, между яблонями садовник оставляет n-1 промежуток. Участок внутри хвойных деревьев является квадратом со стороной n + (n - 1) = 2n - 1 . Длина стороны всего участка вместе с хвойными деревьями составляет 2n + 1 . Тогда число хвойных деревьев равно (2n + 1)^2 - (2n - 1)^2 = 8n .
       В итоге, таблица выглядит следующим образом:

	Количество яблонь	Количество хвойных деревьев
1	1	8
2	4	16
3	9	24
4	16	32
5	25	40

Ответ: см. таблицу.

Вопрос 2. В рассмотренной выше последовательности количество посаженных яблонь и хвойных деревьев подсчитывается следующим образом: количество яблонь =n^2 , количество хвойных деревьев = 8n , где — число рядов высаженных яблонь. Для какого значения число яблонь будет равно числу посаженных вокруг них хвойных деревьев?
Решение. Решим уравнение:

$n^2 = 8n \Leftrightarrow n(n - 8) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} n = 0, \\ n = 8. \\ \end{array} \right.$

По смыслу задачи число рядов яблонь n > 0 , значит, только при n = 8 число яблонь совпадет с числом хвойных деревьев.
Ответ: 8.

Вопрос 3. Предположим, что фермер решил постепенно увеличивать число рядов яблонь на своем участке. Что при этом будет увеличиваться быстрее: количество высаживаемых яблонь или количество хвойных деревьев?
Решение. При увеличении на один ряд число хвойных деревьев увеличивается на 8(n + 1) - 8n = 8 , а число яблонь увеличивается на (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 . Видно, что 2n + 1 > 8 при $n \ge 4$ . Начиная с четырех рядов, при последующем увеличении участка число яблонь увеличивается быстрее числа хвойных деревьев.
Ответ: количество высаживаемых яблонь меньше количества хвойных деревьев при увеличении числа рядов яблонь с одного ряда до четырех, при дальнейшем увеличении числа рядов яблонь количество высаживаемых яблонь больше количества хвойных деревьев.

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке