Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Комбинаторика → Теория вероятностей

Теория вероятностей

Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях.

Классическое определение вероятности

Вероятностью события называется отношение числа исходов , благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных): $P(A) = \frac{m}{n}$ .

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.

Геометрическое определение вероятности

Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события есть отношение меры (длины, площади, объема) к мере пространства элементарных событий.

Теоремы о вероятностяхсобытий

Произведением событий и называется событие $C = A \cdot B$ , состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие , и событие , т. е. оба события произошли.

Два события и называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события и называются зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий и равна произведению этих вероятностей: $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ .

Противоположные события

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают .

Если событие может произойти с вероятностью и опыт повторяют раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: 1 - q^n , где q = 1 - p .

Сложение вероятностей

Суммой событий и называется событие C = A + B , состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий или , т. е. в наступлении события , или события , или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий и равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B) .

Условная вероятность

Пусть и — зависимые события. Условной вероятностью P_A (B) события называется вероятность события , найденная в предположении, что событие уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB) = P(A)P_A (B) .

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) .

Формула Бернулли

Для многократно повторяемых опытов справедлива формула Бернулли: $P_{m,\,\,n} = C_n^{\,m} \cdot p^m \cdot q^{n - m}$ , где — число удачных исходов среди проводимых опытов, — вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, q = 1 - p .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке