На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Тригонометрия → Основные формулы

Основные формулы

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента

$\sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1$ ;
${\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha = 1$ ( $\sin \alpha \ne 0$ , $\cos \alpha \ne 0$ );
$1 + {\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2 \alpha = \frac{1}{{\cos ^2 \alpha }}$ ( $\cos \alpha \ne 0$ );
$1 + {\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha = \frac{1}{{\sin ^2 \alpha }}$ ( $\sin \alpha \ne 0$ ).

Формулы сложения

$\cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta$ ;
$\sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta$ ;
${\mathop{\rm tg}\nolimits} (\alpha \pm \beta ) = \frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}{{1 \mp {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}$ ( $\cos \alpha \ne 0$ , $\cos \beta \ne 0$ , $\cos (\alpha \pm \beta ) \ne 0$ );
${\mathop{\rm ctg}\nolimits} (\alpha \pm \beta ) = \frac{{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta \mp 1}}{{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta \pm {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha }}$ ( $\sin \alpha \ne 0$ , $\sin \beta \ne 0$ , $\sin (\alpha \pm \beta ) \ne 0$ ).

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

$\sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha \mp \beta }}{2}$ ;
$\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2}$ ;
$\cos \alpha - \cos \beta = - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha - \beta }}{2}$ ;
${\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta = \frac{{\sin (\alpha \pm \beta )}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}$ ;
${\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta = \pm \frac{{\sin (\alpha \pm \beta )}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }}$ ;
$a\sin \alpha + b\cos \alpha = \sqrt {a^2 + b^2 } \cdot \sin (\alpha + \phi )$ , $a^2 + b^2 \ne 0$ , $\sin \phi = \frac{b}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}$ , $\cos \phi = \frac{a}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}$ .

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

$\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ))$ ;
$\sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta ))$ ;
$\sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta ))$ .

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке