На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числовые последовательности → Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой отличен от нуля и, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на постоянное для данной последовательности число, не равное нулю.

Это постоянное число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается обычно буквой q. Геометрическая прогрессия называется возрастающей, если |q| > 1 и убывающей, если |q| < 1.

Таким образом, геометрическая прогрессия задается рекуррентным соотношением b_n = b_{n - 1} \cdot q и первым членом b_1.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b_1 \cdot q^{n - 1}.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Числовая последовательность \{ b_n \} является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, удовлетворяет равенству

b_n^2 = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}, n \ge 2.

Замечание. Для последовательности с положительными членами характеристическое свойство может быть записано в виде:

b_n = \sqrt {b_{n - 1} \cdot b_{n + 1} }, n \ge 2.

То есть любой член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии обычно обозначается S_n и при q \ne 1 вычисляется по формуле:

S_n = \frac{{a_1 - a_n \cdot q}}{{1 - q}}.

При решении задач, связанных с геометрической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

  • S_n = \frac{{a_1 (1 - q^n )}}{{1 - q}};
  • a_n^2 = a_{n - k} \cdot a_{n + k}, k < n;
  • a_k \cdot a_n = a_{k - m} \cdot a_{n + m}, m < k;
  • |q| = \sqrt[{n - k}]{{\frac{{a_n }}{{a_k }}}}.


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке