На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числовые последовательности → Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с постоянным для данной последовательности числом.

Это постоянное число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается обычно буквой d. Арифметическая прогрессия называется возрастающей, если d > 0, и убывающей, если d < 0.

Таким образом, арифметическая прогрессия задается рекуррентным соотношением a_n = a_{n - 1} + d и первым членом a_1.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

a_n = a_1 + d(n - 1).

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Числовая последовательность \{ a_n \} является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой член этой последовательности, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних с ним членов:

a_n = \frac{{a_{n - 1} + a_{n + 1} }}{2}, n \ge 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии обычно обозначается S_n и вычисляется по формуле:

S_n = \frac{{a_1 + a_n }}{2}n.

При решении задач, связанных с арифметической прогрессией, могут оказаться полезными также следующие формулы:

  • S_n = \frac{{2a_1 + d(n - 1)}}{2}n = \frac{{2a_n - d(n - 1)}}{2}n;
  • a_n = \frac{{a_{n - k} + a_{n + k} }}{2}, k < n;
  • a_k + a_n = a_{k - m} + a_{n + m}, m < k;
  • d = \frac{{a_n - a_k }}{{n - k}}.


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке