На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Элементарные функции → Многочлены от одной переменной


Многочлены от одной переменной

Выражение вида P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0, где a_n ,\,a_{n - 1} ,\, \ldots ,\,a_0 — некоторые числа и a_n  \ne 0, называется многочленом степени n от x.

Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях x. Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны тогда и только тогда, когда они совпадают, т.е. коэффициенты при одинаковых степенях x этих многочленов одинаковы.

При делении многочлена P(x) на многочлен S(x) (например «уголком») получаем многочлен Q(x) (неполное частное) и остаток — многочлен R(x) (в случае, когда остаток R(x) равен нулю, многочлен Q(x) называется частным). Если P(x) — делимое, S(x) — делитель, то многочлен P(x) представим в виде P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x). При этом сумма степеней многочленов Q(x) и S(x) равна степени многочлена P(x), а степень остатка R(x) меньше степени делителя S(x).

Схема Горнера

(схема деления многочлена P(x) на двучлен x-\alpha)

Пусть r — остаток от деления многочлена P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0 на двучлен x-\alpha и P(x) = b_{n - 1} x^{n - 1}  + b_{n - 2} x^{n - 2}  +  \ldots  + b_1 x + b_0 — частное.

Тогда, имеет место следующее правило для определения коэффициентов b_k и остатка r:

b_{n - 1} = a_n; b_{k - 1} = \alpha b_k  + a_k, (); r = \alpha b_0  + a_0.

Это правило удобно переписать в виде следующей таблицы (схемы Горнера):

a_n a_n-1 \ldots a_1 a_0
\alpha b_{n-1}=a_n b_{n-2}=\alpha b_{n-1}+a_{n-1} \ldots b_0=\alpha b_1+a_1 R=\alpha b_0+a_0

Теорема Безу

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - \alpha равен значению этого многочлена при x = \alpha.

Следствие 1:

p(\alpha \,) = 0 \Leftrightarrow r = 0.

Таким образом, число \alpha является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда многочлен P(x) делится на двучлен x - \alpha без остатка.

Если многочлен P(x) делится без остатка на (x - \alpha \,)^k, но не делится без остатка на (x - \alpha \,)^{k + 1}, то число \alpha называется корнем кратности k для многочлена P(x).

Следствие 1. Многочлен P(x) степени n имеет не более n корней.

Следствие 2. Если многочлен P(x) степени n имеет n корней (среди которых могут быть равные), то он представим в виде:

P(x) = a_n (x - \alpha _1 )(x - \alpha _2 ) \ldots (x - \alpha _n ).

Теорема Виета

Теорема Виета. Если многочлен P(x) степени n имеет n различных корней \alpha _1 ,\,\alpha _2 ,\, \ldots ,\,a_n, то имеют место следующие соотношения:

\left\{ \begin{array}{l} \alpha \,_1 \, + \alpha \,_2 \, +  \ldots  + \alpha \,_n \, =  - \frac{{a_{n - 1} }}{{a_n }}, \\  \alpha \,_1 \alpha \,_2 \, + \alpha \,_1 \alpha \,_3 \, +  \ldots  + \alpha \,_{n - 1} \alpha \,_n \, = \frac{{a_{n - 2} }}{{a_n }}, \\   \ldots , \\  \alpha \,_1  \cdot \alpha \,_2  \cdot \, \ldots  \cdot \alpha \,_n \, = ( - 1)^n  \cdot \frac{{a_0 }}{{a_n }}. \\  \end{array} \right.

Замечание. Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке