Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Элементарные функции → Многочлены. Основные понятия и формулы

Многочлены. Основные понятия и формулы

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, например: 3x - 2xyz , 6x + 4y + 1 . Привести многочлен к стандартному виду — означает привести к стандартному виду все его члены, а затем привести подобные члены.

При сложении и вычитании многочленов используются стандартные законы сложения и вычитания выражений.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен все члены многочлена и полученное произведение сложить. После этого следует привести полученный многочлен к стандартному виду.

Формулы сокращенного умножения

$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ .
$(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3$ или $(a \pm b)^3 = a^3 \pm b^3 \pm 3ab(a \pm b)$ .
.
.
.
$(a_1 + a_2 + \ldots + a_n )^2 = a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + 2a_1 a_2 + 2a_1 a_3 + \ldots + 2a_{n - 1} a_n$ .
$a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2} b + \ldots + ab^{n - 2} + b^{n - 1} )$ .

Для возведения двучлена в любую натуральную степень служит следующая формула, называемая формулой бинома Ньютона:

$(a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n - 1} b + C_n^2 a^{n - 2} b^2 + \ldots + C_n^{n - 2} a^2 b^{n - 2} + C_n^{n - 1} ab^{n - 1} + C_n^n b^n$ ,

где C_n^k — элемент, стоящий на -м месте в -ной строчке треугольника Паскаля (см. ниже):


	$1\,\,\,\,\,1$
	$1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,1$
	$1\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,1$
	$1\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,1$

Числа, стоящие в каждой последующей строке треугольника Паскаля, получаются сложением соответствующих чисел предыдущей строки и являются коэффициентами разложения при данном . При этом показатели степени числа убывают от до , а показатели степени числа возрастают от до .

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке