Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числа → Представление комплексных чисел

Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа в виде x + iy , $x, y \in$ $\mathbb{R}$ , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учетом тождества $i^{\;2} = - 1$ .

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную и мнимую части комплексного числа выразить через модуль r = |z| и аргумент $\phi (x = r\cos \phi ,\;y = r\sin \phi )$ , то комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

$z = r(\cos \phi + i\sin \phi)$ .

Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

$z = re^{i\phi } = r(\cos \phi + i\sin \phi)$ ,

где $e^{i\phi }$ — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами и (или ее радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме:

$z^n = [r(\cos \phi + i\sin \phi)]^n = r^n (\cos n\phi + i\sin n\phi)$ ,

где — модуль, а $\phi$ — аргумент комплексного числа.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке