Комплексные числа

Комплексное число — это пара вещественных чисел $(x;\,y)$ со введенными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

Число $i = (0;\,1)$ называется мнимой единицей.

Другая форма записи комплексного числа — x + iy (что эквивалентно паре $(x;\,y)$ ).

Свойства операций над комплексными числами

Сложение .
Вычитание .
Умножение .
Деление $\frac{{(a + bi)}}{{(c + di)}} = \left( {\frac{{ac + bd}}{{c^2 + d^2 }}} \right) + \left( {\frac{{bc - ad}}{{c^2 + d^2 }}} \right)i$ .

Комплексные числа z = x + yi и $\overline z = x - iy$ называются комплексно сопряженными. Для любых комплексных чисел верны равенства:

$\overline {z \mp z'} = \bar z \mp \overline {z'}$ ; $\overline {z \cdot z'} = \bar z \cdot \overline {z'}$ .

Комплексная переменная обычно обозначается . Пусть и суть вещественные числа, такие, что z = x + yi . Тогда:

Числа и называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями . Если , то называется мнимым или чисто мнимым.
Число $r = |z| = \sqrt {x^2 + y^2 } = \sqrt {z\bar z}$ называется модулем числа .
Угол $\phi$ такой, что $\cos \phi = \frac{x}{{|z|}}$ и $\sin \phi = \frac{y}{{|z|}}$ , называется аргументом .

Комплексное число $\overline z = x - iy$ называется сопряженным (или комплексно сопряженным) к числу .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке