Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Системы счисления

Системы счисления

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах.

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым натуральным числом p > 1 (основание системы счисления) таким, что единиц в каждом разряде объединяется в одну единицу следующего по старшинству разряда. Система счисления с основанием также называется -ичной.

Число в -ичной системе счисления представляется в виде линейной комбинации степеней числа :

$x = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {a_k p^k }$ ,

Где a_k — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству $0 \le a_k < p$ , — порядковый номер разряда, начиная с нулевого, — число разрядов.

Каждая степень p^k в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя . Обычно для ненулевого числа требуют, чтобы старшая цифра $a_{n - 1}$ в -ичном представлении была также ненулевой.

Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число x записывают в виде последовательности его -ичных разрядных единиц, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

$x = a_{n - 1} a_{n - 2} ...\;a_0 .$

Наиболее употребительными в настоящее время позиционными системами являются:

2 — двоичная (в дискретной математике, информатике, программировании).

10 — десятичная система счисления (привычная нам система).

16 — шестнадцатеричная (наиболее часто используется в программировании).

60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и широты).

Смешанные системы счисления

Смешанная система счисления является обобщением -ичной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел $\{ p_k \} _{k = 0}^\infty$ и каждое число представляется как линейная комбинация:

$x = \sum\limits_{k = 0}^n {a_k p_k }$ ,

где на коэффициенты a_k накладываются некоторые ограничения.

Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.

Если p_k = p^k для некоторого , то смешанная система счисления совпадает с -ичной системой счисления.

Наиболее известным примером смешанной системы счисления являются представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина дней часов минут секунд соответствует значению $d \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 + h \cdot 60 \cdot 60 + m \cdot 60 + s$ секунд.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке