Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Треугольники и их элементы → Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника

Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол на две равные части.

Биссектрисой угла треугольника называется наибольший отрезок биссектрисы угла, лежащий внутри треугольника.

Теоремы:

Биссектриса угла треугольника — множество точек, равноудаленных от сторон угла.

Биссектриса делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные боковым сторонам: $\frac{m}{n} = \frac{b}{a}$ .

Примечание. В обозначениях на рисунке имеем: $m = \frac{{bc}}{{a + b}}$ , $n = \frac{{ac}}{{a + b}}$ .

Точкой пересечения биссектрисы делятся в отношении суммы сторон треугольника, образующих угол, в котором проведена биссектриса, к третьей стороне: $\frac{x}{y} = \frac{{a + b}}{c}$ .

Длина биссектрисы, делящей угол $\gamma$ пополам, равна удвоенному произведению сторон, деленному на их сумму и умноженному на косинус половины угла между ними: $l_\gamma = \frac{{2ab}}{{a + b}}\cos \frac{\gamma }{2}$ .

Длина биссектрисы равна: $l = \sqrt {ab - mn}$ .

Длина биссектрисы внешнего угла треугольника равна: $L_a = \frac{{2bc}}{{|c - b|}} \cdot \sin \frac{\alpha }{2}$ , при $b \ne c$ .

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности. Радиус вписанной окружности может быть найден по формулам: $r = \frac{S}{p}$ , $r = (p - a){\mathop{\rm tg}\nolimits} \frac{\alpha }{2}$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке