|
В знаменитом докладе «О гипотезах, лежащих в основании
геометрии» Риман определил общее понятие n-мерного многообразия и
его метрику в виде произвольной положительно определённой квадратичной
формы. Далее Риман обобщил гауссову теорию поверхностей на многомерный
случай; при этом впервые появился тензор кривизны и другие понятия
римановой геометрии. Существование метрики, по Риману, объясняется либо
дискретностью пространства, либо некими физическими силами связи
— здесь он предвосхитил общую теорию относительности.
Риман также высказал предположение, что геометрия в микромире может
отличаться от трёхмерной евклидовой:
«Эмпирические понятия, на которых основывается установление
пространственных метрических отношений,— понятия твёрдого тела и
светового луча, по-видимому, теряют всякую определённость в бесконечно
малом. Поэтому вполне мыслимо, что метрические отношения пространства в
бесконечно малом не отвечают геометрическим допущениям; мы
действительно должны были бы принять это положение, если бы с его
помощью более просто были объяснены наблюдаемые явления.»
Глубокие мысли, содержащиеся в этом выступлении, ещё долго
стимулировали развитие науки.
Риман создал общую теорию многозначных комплексных функций, построив
для них «римановы поверхности». Он использовал не только
аналитические, но и не метрические, топологические методы; позднее его
труды продолжил Анри Пуанкаре, завершив создание топологии.
Его труд «Теория абелевых функций» был важным шагом в
бурном развитии этого раздела анализа в XIX веке. Риман ввёл понятие
рода абелевой функции, классифицировал их по этому параметру и вывел
топологическое соотношение между родом, числом листов и числом точек
ветвления функции.
Вслед за Коши, Риман рассмотрел формализацию понятия интеграла и ввёл
своё определение — интеграл Римана. Развил общую теорию
тригонометрических рядов, не сводящихся к рядам Фурье.
В аналитической теории чисел большой резонанс имело исследование
Риманом распределения простых чисел. Он дал интегральное представление
дзета-функции Римана, исследовал её полюса и нули (см. Гипотеза
Римана), вывел приближённую формулу для оценки количества простых чисел
через интегральный логарифм.
 Оставить комментарий
 Сообщить об ошибке
| 
