На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → Варианты вступительных работ по математике → МФТИ

Московский Физико-Технический Институт

1997 год

  1. Решите неравенство \log _{x^2 } \left| {3x + 1} \right| < \frac{1}{2}.

  2. Решите уравнение \frac{{\sin 3x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin x}}{{\sin 3x}} = 2\cos 2x.

  3. Окружность касается сторон AC и BC треугольника ABC в точках A и B соответственно. На дуге этой окружности, лежащей внутри треугольника, расположена точка K так, что расстояние от нее до сторон AC и BC равны 6 и 24 соответственно. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.

  4. Графику функции y = - x^3 + ax^2 + bx + c принадлежат точки A и B, симметричные относительно прямой x = - 2. Касательные к этому графику в точках A и B параллельны между собой. Одна из этих касательных проходит через точку (0; - 2), а другая — через точку (0; - 6). Найдите значения a, b и c.

  5. Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса \frac{r}{2}, так что каждый шар касается двух других, нижнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра.


2007 год

  1. Решить уравнение \log _{11 - x^2 } \left( {2^x - 6 + 32^{2 - x} } \right) = \log _{x - 1} \left( {2^x - 6 + 32^{2 - x} } \right).

  2. Решите уравнение \sin 2x = 2\sin ^3 \left| x \right| + \sin 2x\cos x.

  3. Решите неравенство \sqrt {\frac{{3 - 2x}}{{1 + 2x}}} + \frac{{\sqrt {1 + 2x} }}{{2\sqrt {3 - 2x} - \sqrt 2 }} \ge 0.

  4. Окружности \omega _1 и \omega _2 лежат внутри треугольника ABC, в котором AB = BC = l, AC = 2, а радиус \omega _1 в два раза больше радиуса \omega _2 . Окружности \omega _1 и \omega _2 касаются внешним образом, причем \omega _1 касается сторон AB и AC, а \omega _2  — сторон BC и AC треугольника ABC. Найти радиус окружности \omega _1 , если l = 6. Найти все значения l, при которых существуют указанные окружности.

  5. Найти все значения параметра a, при которых наибольшее значение величины x^2 + y на множестве пар действительных чисел (x;y), удовлетворяющих одновременно двум неравенствам y \le \sqrt {1 - x^2 } и y + \left| {x - a} \right| \le 1, будет максимально возможным. Найти это максимально возможное значение.

  6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 четыре числа — длины ребер и диагонали AC_1  — образуют арифметическую прогрессию с положительной разностью d, причем AA_1 < AB < BC. Две внешне касающиеся друг друга сферы одинакового неизвестного радиуса R расположены так, что их центры лежат внутри параллелепипеда, причем первая сфера касается граней ABB_1 A_1 , ADD_1 A_1 , ABCD, а вторая — граней BCC_1 B_1 , CDD_1 C_1 , A_1 B_1 C_1 D_1 . Найти: а) длины ребер параллелепипеда, б) угол между прямыми CD_1 и AC_1 , в) радиус R.


Ответы

2007 год

  1. \left\{ {\log _2 3;3} \right\}.
  2. \left\{ {\pi n,n \in \mathbb{Z}} \right\}, \left\{ {\frac{{2\pi }}{3} + 2\pi m,m \in \mathbb{Z},m \le - 1} \right\}, \left\{ { - \frac{{2\pi }}{3} + 2\pi k,k \in \mathbb{Z},k \le 0} \right\}.
  3. \left( { - \frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right).
  4. R = \frac{{20}}{{3\sqrt {35} + 10\sqrt 2 }}, l \ge \frac{9}{7}.
  5. \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} \le \left| a \right| \le \frac{{\sqrt 3 + 1}}{2}; \frac{5}{4}.
  6. а)AA_1 = d\sqrt 2 , AB = d(\sqrt 2 + 1); б)\arccos \frac{{1 + 2\sqrt 2 }}{{\sqrt {79 + 52\sqrt 2 } }}; в) R = d\left( {\frac{{3 + 3\sqrt 2 - \sqrt {5 + 6\sqrt 2 } }}{4}} \right).


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке