Физ-мат класс

Санкт-Петербургский Государственный Унивеситет

Математико-механический факультет

1977 год

В зависимости от указать те , для которых уравнение имеет три различных корня.
Найти все решения уравнения $8\cos 6x\cos ^3 x - \cos 9x - \cos 3x = 0$ , лежащие в интервале $\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)$ .
Сколькими способами можно одинаковых подарков распределить между детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы один подарок?
Определить высоту конуса, вписанного в шар радиуса и имеющего наибольшую площадь полной поверхности.
Вектор $\overrightarrow c$ , перпендикулярный векторам $\overrightarrow a = (1;1;1)$ и $\overrightarrow b = (1; - 1;3)$ , образует с осью тупой угол. Зная, что $\left| {\overrightarrow c } \right| = 3$ , найти его координаты.

При каких значениях параметра существует такое значение параметра , что система $\left\{ \begin{array}{l} 3|x| + |y|\,\, = 3, \\ (x - a)^2 + y^2 = r^2 \\ \end{array} \right.$ имеет ровно три решения?
Решите неравенство $\frac{1}{{\log _{\frac{1}{2}} (x^2 - x)}} > - 1$ .
Решите уравнение $(\sin x - \cos 6x)^2 + (\cos x + 6\sin 6x)^2 = 0$ .
Решите уравнение $\sqrt {x^2 - 3x} + \sqrt {x^2 - 35x} = 8$ .
Дана правильная треугольная пирамида SABC со стороной основания и боковым ребром . Найдите объем фигуры, состоящей из всех тех точек пирамиды, для которых расстояние до вершины не больше расстояния до любой из вершин основания.

Две вершины квадрата лежат на оси абсцисс координатной плоскости , а две другие — на графике функции $y = 2x^2 + 6x + \frac{1}{2}$ . Найти площадь квадрата.
Решить уравнение $x\sqrt {\frac{{x - 3}}{x}} = x^2 - 3x - 6$ .
Решить неравенство $x \cdot \log _2 \left( {4^{\frac{1}{x}} - \frac{3}{4}} \right) > 1$ .
Все вершины правильной четырёхугольной призмы лежат на поверхности тетраэдра , рёбра которого равны . При этом и параллельны рёбрам основания призмы. Найти высоту призмы, если известно, что она в два раза короче каждого из рёбер основания призмы.
Найти все целые положительные , при которых уравнение $\sin nx + \sin x = 0$ имеет только одно решение на промежутке .

a) Если , то $a \in \left( {p;\frac{{32}}{{27}}p^3 + p} \right)$ ,
б) Если , то $a \in \left( {\frac{{32}}{{27}}p^3 + p;p} \right)$ ,
в) Если , то решений нет.
$\left\{ { - \frac{{5\pi }}{{12}}; - \frac{\pi }{4}; - \frac{\pi }{{12}};\frac{\pi }{{12}};\frac{\pi }{4};\frac{{5\pi }}{{12}}} \right\}$ .
способов.
Ответ: $\frac{{23 - \sqrt {17} }}{{16}}R$ .
$\overrightarrow c = (\sqrt 6 ; - \frac{{\sqrt 6 }}{2}; - \frac{{\sqrt 6 }}{2})$ .

$a \in (19 - 6\sqrt {10} ;\,\,1) \cup \{ 4\}$ .
$( - \infty ;\,\, - 1) \cup \left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2};\,\,0} \right) \cup \left( {1;\,\,\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right) \cup (2;\,\, + \infty )$ .
$\left\{ { - \frac{\pi }{2} + 2\pi k:\,\,k \in \mathbb{Z}} \right\}$ .
$\{ - 1\}$ .
$V = \frac{{16\sqrt {11} }}{{165}}$ .

Площадь квадрата равна или .
, $x = \frac{{3(1 + \sqrt 5 )}}{2}$ .
$\left( { - \infty ,\;\log _{\frac{3}{4}} 4} \right) \cup \left( {0,\;\log _{\frac{3}{2}} 2} \right)$ .
Высота призмы равна $\frac{{4 - \sqrt 2 }}{7}$ .
.