На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → Варианты вступительных работ по математике → МГУ. Геологический факультет


Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Геологический факультет


1977 год


  1. В бак может поступать вода через одну из двух труб. Через первую трубу бак можно наполнить на час быстрее, чем через вторую трубу. Если бы емкость бака была больше на 2^3 , а пропускная способность второй трубы была бы больше на \frac{4}{3}{\raise0.7ex\hbox{м{^{\rm{3}} }$}
\!\mathord{\left/
{\vphantom {{^{\rm{3}} } }}\right.\kern-\nulldelimiterspace}
\!\lower0.7ex\hbox{ч}}, то для наполнения бака через вторую трубу понадобилось бы столько же времени, сколько требуется для пропуска 2^3 воды через первую трубу. Какова емкость бака, если известно, что за время его наполнения через вторую трубу через первую трубу могло бы поступить 3^3 воды?

  2. Решить неравенство x^3  - \left| {5x - 3} \right| - x < 2.

  3. Решить уравнение

    \sin ^2 (2 + 3x) + \cos ^2 (\frac{\pi }{4} + 2x) = \cos ^2 (2 -
5x) + \sin ^2 (\frac{\pi }{4} - 6x).

  4. В окружность с центром Oвписан треугольникABC(\angle BAC > \frac{\pi
}{2}). Продолжение биссектрисы AF угла \angle BAC этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус AO пересекает сторону BC в точке E. Пусть AH — высота треугольника ABC. Найти отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.

  5. Найти все значения параметра \kappa , при каждом из которых существует хотя бы одно общее решение у неравенств x^2  + 4\kappa x + 3\kappa ^2  > 1
+ 2\kappa и x^2  + 2\kappa x \le 3\kappa ^2  - 8\kappa  +
4.

Ответы

1997 год


  1. Решить уравнение \frac{{x^3  - x^2  - 6x}}{{\sqrt[5]{x}}} =
0.

  2. Решить уравнение 2\sin x = 3\cos x \cdot \sin \frac{x}{2}.

  3. Решить неравенство \log _4 \left( {\left( {x - 5} \right)\left(
{x + 6} \right)} \right) + \log _{\frac{1}{4}} \left( {\left( {x - 5}
\right)\left( {x - 3} \right)} \right) \le 1.

  4. В треугольнике ABC известны: \sin \angle ABC =
\frac{1}{2} и \cos \angle BAC = \frac{1}{5}. Найти отношение длин высот, опущенных соответственно из вершины A на сторонуBC и из вершины B на сторону AC.

  5. Решить систему уравнений

    
\left\{ \begin{array}{l}
2x^4  + y^2  = 10 \\
x^2  + 2y^4  = 10. \\
\end{array} \right.
  6. Любой из трех грузовиков разной грузоподъемности при полной загрузке в каждой поездке может перевести некоторый груз, причем грузовик с наименьшей грузоподъемностью - за 10 поездок. Сколько совместных поездок необходимо двум другим грузовикам для перевозки всего груза (недогрузка запрещается)?

Ответы

2007 год


  1. Решите неравенство \left| {x - 12} \right| \le \frac{x}{{12 -
x}}.

    Ответ: \left[ {9,16} \right].

  2. Решите уравнение \frac{{\cos 2x + \sin x}}{{\cos x}} =
\frac{1}{2}\cos x.

    Ответ: x = \left( { - 1} \right)^k \arcsin \left( { -
\frac{1}{3}} \right) + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}.

  3. Решите неравенство \sqrt {2^{(x^2  - 4)}  - 1}  \cdot (x^2  - 7x
+ 6) \le 0.

    Ответ: \left[ {2,6} \right]

  4. Площадь четырехугольника ABCD равна 9, радиус вписанной в него окружности равен 1, а длины сторон AB и BC равны 3 и 5 соответственно. Чему равны длины сторон ADи CD?

    Ответ: 6, 4.

  5. Решите неравенство \left( {\frac{1}{2}} \right)^{\log _x \left(
{\log _2 \left( {\frac{{x^2  - 2x}}{{2x - 1}}} \right)} \right)}  \le
1.

    Ответ: x \in \left( {0,2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 +
\sqrt 2 ,\infty } \right).

  6. Сумма первых пятнадцати членов арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, больше 337, но меньше 393. Чему равен восьмой член этой прогрессии, если известно, что он кратен четырем?

    Ответ: 24.

Ответы

Ответы


1977 год

  1. 2^3 .
  2. x \in ( - 5;3
+ \sqrt 8 ).
  3. \left\{ {x =
\frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi \kappa }}{8},\kappa  \in \mathbb{Z}}
\right., x = \frac{\pi }{4} - 2 + \pi n,n \in \mathbb{Z}, \left. {x = \frac{\pi }{{12}} + \frac{2}{3} + \frac{{\pi m}}{3},m
\in \mathbb{Z}} \right\}.
  4. \frac{4}{3}.
  5. \kappa  \in (
- \infty ;\frac{1}{2}) \cup (\frac{3}{2};\infty ).

1997 год

  1. \left( {3, - 2} \right).
  2. \left\{ {x = 2\pi n,\,\,n \in ;\,\,x =  \pm 2\arccos
\left( {\frac{{2 - \sqrt {22} }}{6}} \right) + 4\pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}}
\right\}.
  3. \left( { - \infty , - 6} \right) \cup \left( {6,\infty }
\right).
  4. \frac{{\sqrt 6 }}{5}.
  5. от 1 до 4.

2007 год

  1. \left[ {9,16} \right].
  2. x = \left( { - 1} \right)^k \arcsin \left( { -
\frac{1}{3}} \right) + \pi k,\,\,k \in \mathbb{Z}.
  3. \left[ {2,6} \right].
  4. 6, 4.
  5. x \in \left( {0,2 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( {2 +
\sqrt 2 ,\infty } \right).
  6. 24.


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке