Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2009 года

Единый государственный экзамен по математике, 2009 год
Демонстрационная версия

Часть A

A1. Упростите выражение $\frac{{10^{1,4} }}{{10^{0,7} }}$ .

$10^{0,7}$

A2. Вычислите: $\sqrt[3]{{0,064 \cdot 27}}$ .

A3. Вычислите: $\log _2 400 - \log _2 25$ .

A4. На одном из рисунков изображен график функции $y = \log _2 x$ . Укажите номер этого рисунка.

1. 2.

3. 4.

A5. Найдите производную функции h(x) = e^x - 4x^2 .

1.	$h'(x) = e^x - \frac{4}{3}x^3$	2.
3.		4.

A6. Найдите множество значений функции $y = 3\cos x$ .

$( - \infty ;\, + \infty )$

$[ - 3;\,3]$

$[ - 1;\,1]$

$[0;\,3]$

A7. На рисунке показано изменение уровня воды водохранилища в течение 12 часов во время паводка. Как только уровень воды превысил отметку 10 метров, через сливные отверстия в плотине начали сбрасывать воду до того момента, пока ее уровень понизился до отметки 10 метров. Определите, сколько часов длился сброс воды.

1.
2.
3.
4.

A8. Решите неравенство $\frac{{6x + 18}}{{7x}} \le 0$ .

1.	$[ - 3;\,0) \cup (0;\, + \infty )$	2.	$[ - 3;\,0)$
3.	$[ - 3;\, + \infty )$	4.	$( - \infty ;\, - 3] \cup (0;\, + \infty )$

A9. Решите уравнение $\cos x - \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 0$ .

1.	$( - 1)^k \frac{\pi }{4} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	2.	$\pm \frac{\pi }{4} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$
3.	$\frac{\pi }{4} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	4.	$\pm \frac{\pi }{4} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

A10. Решите неравенство $4^{6x + 11} \ge 16$ .

$\left( { - \infty ;\, - \frac{3}{2}} \right]$

$\left[ { - \frac{3}{2};\, + \infty } \right)$

$\left[ { - \frac{5}{3};\, + \infty } \right)$

$\left( { - \infty ;\, - \frac{5}{3}} \right]$

Часть B

B1. Найдите $\cos \alpha$ , если $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ , и $\alpha < 0 < \frac{\pi }{2}$ .

B2. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0 . Найдите значение производной в точке x_0 .

B3. Для оклейки стен ванной комнаты (см. рисунок) нужно приобрести керамическую плитку, причем плитка покупается с запасом в 10% от оклеиваемой площади. Ширина двери равна 0,75 м, высота — 2 м. Цена плитки 300 р. за 1 кв. м. Определите стоимость плитки, если стены решено оклеить полностью, от пола до потолка.

B4. Решите уравнение $5^x + 20 \cdot (\sqrt 5 )^x - 125 = 0$ . (Если уравнение имеет более одного корня, то в бланке ответов запишите их произведение.)

B5. Функция y = f(x) определена на промежутке $( - 2;\,7)$ . На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции на промежутке $( - 2;\,7)$ .

B6. Вычислите значение выражения $6^{\log _6 5} + 100^{\lg \sqrt 8 }$ .

B7. Функция y = f(x) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 3. На рисунке изображен график этой функции при $- 2 \le x \le 1$ . Найдите значение выражения $\frac{{f( - 1) \cdot f(9)}}{{f( - 2)}}$ .

B8. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение ||x| + 5 - a| = 2 имеет ровно 3 корня. (Если значений a более одного, то в бланке ответов запишите их сумму.)

B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 6:7:10 . Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на $10\%$ и из второй — тоже на $10\%$ . На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?

B10. Концы отрезка лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой и плоскостью основания цилиндра равен $30^\circ$ , MK = 8 , площадь боковой поверхности цилиндра равна $40\pi$ . Найдите периметр осевого сечения цилиндра.

B11. Средняя линия прямоугольной трапеции равна , а радиус вписанной в нее окружности равен . Найдите большее основание трапеции.

Часть C

C1. Найдите наименьшее значение функции $f(x) = \frac{{2x}}{{x^2 + 16}}$ при $\left| {x - \frac{{11}}{2}}\right| \le \frac{5}{2}$ .

C2. Найдите все значения , при каждом из которых выражения $\frac{{\sqrt 2 \sin ^4 \frac{x}{2} - \sqrt 2 \cos ^4 \frac{x}{2}}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} x}}$ и $\frac{{\sin 2x}}{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} x}}$ принимают равные значения.

C3. Найдите все значения x > 1 , при каждом из которых наибольшее из двух чисел $a = \log _2 x + 2\log _x 32 - 2$ и $b = 41 - \log _2^2 x^2$ больше 5.

C4. Около правильной пирамиды FABC описана сфера, центр которой лежит в плоскости основания ABC пирамиды. Точка лежит на ребре так, что AM:MB = 1:3 . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Объем пирамиды TBCM равен $\frac{5}{{64}}$ . Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды FABC ?