Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2006 года

Единый государственный экзамен по математике, 2006 год

Часть A

A1. Упростите выражение $\frac{{3^{1,2} }}{{3^{0,3}}}$ .

$3^{0,9}$

A2. Найдите значение выражения $- 2\log _3 (3)^5$ .

$5^{ - 2}$

A3. Вычислите: $\sqrt[4]{{625 \cdot {\rm{0}}{\rm{,0081}}}}$ .

A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке $[0;\, 2]$ ?

1.		2.
3.		4.

A5. Найдите множество значений функции $y = \frac{7}{3}\cos x$ .

$[ - 1;\,1]$

$\left[ { - \frac{7}{3};\,\frac{7}{3}} \right]$

$\left[ {0;\,\frac{7}{3}} \right]$

$( - \infty ;\, + \infty )$

A6. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{{21}}{{8 - \sqrt x }}$ .

1.	$[0;\;8) \cup (8;\; + \infty )$	2.	$[0;\; + \infty )$
3.	$( - \infty ;\;64) \cup (64;\; + \infty )$	4.	$[0;\;64) \cup (64;\; + \infty )$

A7. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x) , заданных на промежутке $\left[ { - 3;\,6} \right]$ . Укажите те значения , для которых выполняется неравенство $f(x) \le g(x)$ .

1.	$[ - 3;\, - 1] \cup [1;\,6]$
2.	$[ - 3;\, - 2] \cup [2;\,6]$
3.	$[ - 1;\,1]$
4.	$[ - 2;\,2]$

A8. Найдите производную функции $y = \frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17$ .

1.		2.	$y' = \frac{1}{6}x^7 - x^5 - 17x$
3.		4.

A9. Решите уравнение ${\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$ .

1.	$\frac{{2\pi }}{3} + 4\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$	2.	$\frac{\pi }{{24}} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$
3.	$\frac{\pi }{6} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$	4.	$\frac{\pi }{{24}} + \frac{\pi }{4}n$ , $n \in \mathbb{Z}$

A10. Решите неравенство $\log _{\frac{2}{3}} (3x - 15) > \log _{\frac{2}{3}} (2x)$ .

$(15;\; + \infty )$

$( - \infty ;\;15)$

$(5;\;15)$

$(5;\; + \infty )$

Часть B

B1. Решите уравнение $5^{x + 2} + 10 \cdot 5^x = 7$ .

B2. Решите уравнение $9 \cdot 7^{\log _7 x} = 4x + 3$ .

B3. Найдите значение выражения $5\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) - \sin (\pi - \alpha )$ , если $\sin \alpha = - {\rm{0}}{\rm{,4}}$ .

B4. Вычислите: $13\,\log _{9\sqrt[6]{3}} (27\sqrt[6]{3})$ .

B5. К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 1 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции.

B6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции $y = 2^{(x + 1)^2 - 3}$ на отрезке $[- 3;\,0]$ .

B7. Решите уравнение

$16x^2 - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3 + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)$ .

B8. Найдите значение функции y = f(x)g( - x) + 2f( - x) в точке x_0 , если известно, что функция — четная, функция y = g(x) — нечетная, f(x_0 ) = 2 , g(x_0 ) = - 3 .

B9. Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4 . Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на $8\%$ , а вторая — на $2\%$ . На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился?

B10. Основание прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 — параллелограмм ABCD , в котором CD = 5 , $\angle ADC = 150^\circ$ . Высота призмы равна . Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью B_1 AD .

B11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее средняя линия равна , а косинус угла между диагональю и основанием равен $\frac{3}{{\sqrt {10} }}$ .

Часть C

C1. Решите уравнение $\sin 1,5x = \left( {\sqrt {9 - x^2 } } \right)^2 + x^2 - 10$ .

С2. Найдите все значения , при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций $f(x) = \log _{\sqrt 5 } (4x - 3)$ и g(x) = 5 меньше, чем 1.

С3. Требуется разметить на земле участок ACDEGHMN площадью 1200 ${\rm{}}^{\rm{2}}$ , состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где EG = 30 м, HM = 5 м, MN = 20 м и $DE \ge 10$ м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин , и , при которых периметр является наименьшим.

C4. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB:FA = 15:11 . Тангенс угла между прямой и плоскостью ABF равен . Точка выбрана на ребре так, что BM:MC = 4:11 . Точка лежит на прямой и равноудалена от точек и . Центр сферы, описанной около пирамиды FABC , лежит на ребре , площадь этой сферы равна $36\pi$ . Найдите объем пирамиды .

С5. Найдите все значения , при каждом из которых оба числа $3a \cdot 8^a$ и $6a \cdot 8^{a + 1} - 9a^2 \cdot 64^a - 53$ являются решениями неравенства $\log _{x - 7,5} \left( {\log _9 \frac{{x - 20}}{{x - 12}}} \right) \ge 0$ .