Физ-мат класс

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2005 года

Единый государственный экзамен по математике, 2005 год

Часть A

A1. Внесите множитель под знак корня $9\sqrt[7]{{q^3}}$ .

$\sqrt[7]{{9^8 q^3 }}$

$\sqrt[7]{{9q^{21} }}$

$\sqrt[7]{{9^7 q^{21} }}$

$\sqrt[7]{{9^7 q^3 }}$

A2. Найдите значение выражения $\frac{{c^{2,7} }}{{c^{ - 0,3} }}$ при c = 2 .

$2^{2,4}$

A3. Найдите значение выражения $2 \cdot 1,3^{\log _{1,3} 26}$ .

A4. Упростите выражение $- 4\sin ^2 \alpha + 5 - 4\cos ^2 \alpha$ .

$1 + 8\sin ^2 \alpha$

$1 + 8\cos ^2 \alpha$

A5. На одном из рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

1.		2.
3.		4.

A6. Найдите множество значений функции $y = \frac{3}{2} + \log _{\frac{1}{4}} x$ .

$\left( {\frac{3}{2};\, + \infty } \right)1$

$(0;\, + \infty )$

$( - \infty ;\, + \infty )$

$\left( { - \infty ;\,\frac{3}{2}} \right)$

A7. Решите неравенство $\left( {\frac{1}{8}} \right)^{5x + 12} \ge \left( {\frac{1}{8}} \right)^{7x}$ .

$( - \infty ;\,1]$

$[6;\, + \infty )$

$( - \infty ;\,6]$

$[1;\, + \infty )$

A8. Решите неравенство $\frac{{3x^2 + 3x}}{{x - 5}} \le 0$ .

1.	$[ - 1;\,0] \cup (5;\, + \infty )$	2.	$( - \infty ;\, - 1) \cup (0;\,5)$
3.	$( - \infty ;\, - 1] \cup (5;\, + \infty )$	4.	$( - \infty ;\, - 1] \cup [0;\,5)$

A9. Решите уравнение $\cos \frac{x}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ .

1.	$\pm \frac{\pi }{2} + 4\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$	2.	$\pm \frac{\pi }{8} + \pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$
3.	$( - 1)^k \frac{\pi }{8} + \frac{{\pi k}}{2}$ , $k \in \mathbb{Z}$	4.	$( - 1)^k \frac{\pi }{8} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$

A10. Найдите производную функции $y = - 3,6x^2 \cdot \cos x$ .

1.	$y' = - 7,2x \cdot \cos x + 3,6x^2 \cdot \sin x$	2.	$y' = - 7,2x \cdot \cos x - 3,6x^2 \cdot \sin x$
3.	$y' = - 1,2x^3 \cdot \cos x + 3,6x^2 \cdot \sin x$	4.	$y' = 7,2x \cdot \sin x$

Часть B

B1. Решите уравнение $\log _6 x = \log _6 5 + \log _6 4$ .

B2. Решите уравнение $\sqrt {2x + 7} = x - 4$ .

B3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции f(x) = - x^3 + 3x^2 + 8x - 5 в точке с абсциссой x_0 = 2 .

B4. Вычислите: $\sqrt[3]{{7 + 2\sqrt 6 }} \cdot \sqrt[3]{{2\sqrt 6 - 7}} \cdot \sqrt[3]{{40}}$ .

B5. Найдите значение выражения $3\sqrt 2 \sin 2x$ , если $\sin x = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ , $\frac {\pi }{2} < x < \frac{{3\pi }}{2}$ .

B6. Функция y = f(x) определена на промежутке $( - 5;\,6)$ . На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку x_0 , в которой функция принимает наибольшее значение.

B7. Найдите сумму всех корней уравнения $\sqrt {9 - 3x} \cdot \lg (17 - x^2 ) = 0$ .

B8. Найдите значение функции $y = f(x) \cdot g( - x) - f( - x)$ в точке x_0 , если известно, что функция четная, функция y = g(x) нечетная, f(x_0 ) = - 3 , g(x_0 ) = - 2 .

B9. В бидон налили 4 литра молока трехпроцентной жирности и 6 литров молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

B10. Боковое ребро правильной четырехугольной призмы равно стороне ее основания. Расстояние между серединами непараллельных ребер, принадлежащих разным основаниям, равно $3\sqrt 6$ . Найдите объем призмы.

B11. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием высоты и пересекаются в точке , причем BH = 6 , KH = 3 . Найдите площадь треугольника CBK .

Часть C

C1. Найдите все значения , для которых точки графика функции $y = \frac{{\log _{0,7}^2 (23 + 4x)}}{{45 - 4x}}$ лежат выше соответствующих точек графика функции $y = \frac{{83}}{{4x - 45}}$ .

C2. Решите уравнение $\sqrt {(3 - 6^x )^2 } + \sqrt {(6 + 6^x )(11 - 6^x )} = 6^x - 3$ .

C3. Найдите положительные значения , при каждом из которых наименьшее из двух чисел $b = 6a^2 (2a^{ - 2} - a) - a^6$ и $c = a^{ - 6} - 6a^{ - 3} + 1$ не меньше .

C4. Через центр данной сферы проведено сечение. Точка выбрана на сфере, а точки , , , — последовательно на окружности сечения так, что объем пирамиды FABCD наибольший. Точки , , — середины ребер , и соответственно. Площадь треугольника MLT равна $64\sqrt 5$ . Найдите радиус сферы.

C5. Даны два уравнения:

$\frac{{x^3 + (6p + 13)x + 4}}{{x - 1}} = x^2 + p$ и
$4\sin \left( {\frac{\pi }{2} \cdot \frac{x}{{x + 6}}} \right) = 14 - (3 + 4(p + 1)^{ - 2} )x$ .

Значение параметра выбирается так, что $p \ne - 1$ и при умножении числа различных корней первого уравнения на число различных корней второго уравнения получается число p + 3 . Решите второе уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.