На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2005 года


Единый государственный экзамен по математике, 2005 год

Часть A

A1. Найдите значение выражения \frac{{n^{\frac{3}{5}}}}{{n^{ - \frac{7}{5}} }} при n = 8.

1. 8^{ - \frac{3}{7}} 2. 64 3. 16 4. 8^{ - \frac{4}{5}}

Решение. Частное от делении степеней с одинаковыми основаниями есть степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя:

\frac{{n^{\frac{3}{5}} }}{{n^{ - \frac{7}{5}} }} = n^{\frac{3}{5} + \frac{7}{5}}  = n^2 .

При n = 8, получим: n^2 = 8^2 = 64.
Правильный ответ: 2.

A2. Упростите выражение \sqrt[7]{{2^{14} q^{14} }}.

1. 2^{21} q^{21} 2. 2^7 q^7 3. 2^{98} q^{98} 4. 2^2 q^2

Решение. Поскольку \sqrt[7]{{ab}} =
\sqrt[7]{a}\sqrt[7]{b}, получаем:

\sqrt[7]{{2^{14} q^{14} }} = \sqrt[7]{{2^{14} }}\sqrt[7]{{q^{14}}} = 2^2 q^2 .

Правильный ответ: 4.

A3. Вычислите значение выражения \log_5(5ab), если \log _5 (ab) = 0,7.

1. 1,7 2. 3,5 3. 5,7 4. 4

Решение. Используя формулу преобразования логарифма произведения в сумму логарифмов, имеем

\log _5 (5ab) = \log _5 5 + \log _5 (ab) = 1 + 0,7 = 1,7.

Правильный ответ: 1.

A4. Упростите выражение \sin \frac{{7\alpha }}{2}\sin \frac{{5\alpha }}{2} + \cos \alpha  - \cos \frac{{7\alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha }}{2}.

1. \cos \alpha  + \cos 6\alpha 2. 0 3. 2\cos \alpha 4. \cos \alpha  - \cos 6\alpha

Решение. Используя формулу \cos (x + y) = \cos x\cos y - \sin x\sin y, получим:

\sin \frac{{7\alpha }}{2}\sin \frac{{5\alpha }}{2} + \cos \alpha - \cos \frac{{7\alpha }}{2}\cos \frac{{5\alpha }}{2} = \cos \alpha - \cos \left( {\frac{{7\alpha }}{2} + \frac{{5\alpha }}{2}} \right) = \cos \alpha  - \cos 6\alpha .

Правильный ответ: 4.

A5. Найдите производную функции y =  - \frac{7}{6}x^6 + 5x^4 - 14.

1. y' =  - 7x^7  + x^5  - 14x 2. y' =  - \frac{1}{6}x^7  + x^5  - 14x
3. y' =  - 7x^5  + 20x^3 4. y' =  - 7x^5  + 9x^3

Решение. Используя формулу (x^n )' = nx^{n - 1} и правила дифференцирования, получим:

y' =  - 7x^5  + 20x^3 .

Правильный ответ: 3.

A6. На каком из следующих рисунков функция, заданная графиком, убывает на промежутке [0;\,3]?

1. 2.
3. 4.

Решение. Функция, график которой изображен на рисунке 1, убывает на отрезке [0;\,3]; функция, график которой изображен на рисунке 2, не является монотонной на отрезке [0;\,3]; функция, график которой изображен на рисунке 3, возрастает на отрезке [0;\,3]; функция, график которой изображен на рисунке 4, не является монотонной на отрезке [0;\,3].
Правильный ответ: 1.

A7. Найдите множество значений функции y = 7 + \cos x.

1. [6;\,8] 2. [7;\,8] 3. ( - \infty ;\, + \infty ) 4. [ - 1;\,1]

Решение. В силу ограниченности функции косинус и свойств неравенств имеем:

 - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow 6 \le 7 + \cos x \le
8.

Правильный ответ: 1.

A8. Решите уравнение \cos x - 1 = 0.

1. \frac{\pi }{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} 2. \frac{\pi }{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} 3. \pi k, k \in \mathbb{Z} 4. 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

Решение. Последовательно получаем:

\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}

Правильный ответ: 4.

A9. Решите неравенство \frac{{x + 11}}{{(x - 8)(3x + 2)}} \le 0.

1. \left[ { - 11;\, - \frac{2}{3}} \right) \cup (8;\, + \infty ) 2. ( - \infty ;\, - 11] 3. ( - \infty ;\,8) 4. ( - \infty ;\, - 11] \cup \left( { - \frac{2}{3};\,8} \right)

Решение. Решим неравенство \frac{{x + 11}}{{(x - 8)(3x + 2)}} \le 0 методом интервалов (см. рис.):

Правильный ответ: 4.

A10. Найдите область определения функции f(x) = \frac{{11}}{{2 + \log _3 x}}.

1. (0;\,9) \cup (9;\, + \infty ) 2. ( - \infty ;\, - 11] 3. (0;\, + \infty ) 4. \left( {0;\,\frac{1}{9}} \right) \cup \left( {\frac{1}{9};\, + \infty }\right)

Решение. Область определения функции задается соотношением 2 + \log _3 x \ne 0. Тогда:

2 + \log _3 x \ne 0 \Leftrightarrow \log _3 x \ne  - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x > 0, \\ x \ne 3^{ - 2} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0 < x < \frac{1}{9}, \\ x > \frac{1}{9}. \\\end{array} \right.

Правильный ответ: 4.


Часть B

B1. Решите уравнение \sqrt {2x^2  + 2x - 3}  + 1 = - x.
Решение. Используем теорему равносильности \sqrt {f(x)}  = g(x) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}f(x) = g^2 (x), \\g(x) \ge 0. \\\end{array} \right.
В нашем случае:

\sqrt {2x^2  + 2x - 3}  + 1 =  - x \Leftrightarrow \sqrt {2x^2  + 2x - 3}  =  - x - 1 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x - 1 \ge 0, \\2x^2  + 2x - 3 = ( - x - 1)^2  \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1, \\x^2  - 4 = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le  - 1, \\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2, \\x = 2 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 2.

Ответ: \{ - 2\} .

B2. Решите уравнение \left( {\frac{1}{{16}}}
\right)^{\frac{1}{2}x + 1} = 8.
Решение. Перейдем к одному основанию и воспользуемся монотонностью показательной функции:

\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{1}{2}x + 1}  = 8
\Leftrightarrow (2^{ - 4} )^{\frac{1}{2}x + 1}  = 2^3  \Leftrightarrow 
- 2x - 4 = 3 \Leftrightarrow x =  - 3,5.

Ответ: \{ - 3,5\}.

B3. Точка движется по координатной прямой согласно закону x(t) = 7 + 5t - e^{4 - t} , где x(t) — координата точки в момент времени t. Найдите скорость точки при t = 4.
Решение. Скорость точки в момент времени t равна x'(t) = 5 + e^{4 - t}. При t = 4 получаем

x'(4) = 5 + e^{4 - 4}  = 5 + e^0  = 5 + 1 = 6.

Ответ: 6.

B4. Вычислите: (11,2\sqrt[3]{{64\sqrt 8 }} - 3,2\sqrt {8\sqrt[3]{{64}}} )^{\frac{6}{{11}}} .
Решение. Применяя формулы \sqrt[n]{{a^m }} = a^{\frac{m}{n}} , a^n  \cdot a^m  = a^{m + n}, (a^m )^n  = a^{mn} , последовательно получаем:

(11,2\sqrt[3]{{64\sqrt 8 }} - 3,2\sqrt {8\sqrt[3]{{64}}}
)^{\frac{6}{{11}}}  = (11,2(8^2  \cdot 8^{\frac{1}{2}} )^{\frac{1}{3}} 
- 3,2 \cdot (8 \cdot 8^{\frac{2}{3}} )^{\frac{1}{2}} )^{\frac{6}{{11}}} =
 = (11,2 \cdot 8^{\left( {2 + \frac{1}{2}} \right) \cdot
\frac{1}{3}}  - 3,2 \cdot 8^{\left( {1 + \frac{2}{3}} \right) \cdot
\frac{1}{2}} )^{\frac{6}{{11}}} =
(11,2 \cdot 8^{\frac{5}{6}}  - 3,2 \cdot 8^{\frac{5}{6}} )^{\frac{6}{{11}}}  = (8 \cdot 8^{\frac{5}{6}} )^{\frac{6}{{11}}}  = (8^{\frac{{11}}{6}} )^{\frac{6}{{11}}} = 8.

Ответ: 8.

B5. Найдите значение функции y = \sqrt 3 \sin 2t + \sin \left( {\frac{{17\pi }}{2} - t} \right) в точке t = \frac{{19\pi }}{3}.
Решение. Поскольку

\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2} - t} \right) = \sin \left( {8\pi + \frac{\pi }{2} - t} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - t}
\right) = \cos t,

имеем:

y = \sqrt 3 \sin 2t + \cos t.

Тогда

y\left( {\frac{{19\pi }}{3}} \right) = \sqrt 3 \sin \frac{{38\pi }}{3} + \cos \frac{{19\pi }}{3} = \sqrt 3 \sin \left( {12\pi  + \frac{{2\pi}}{3}} \right) + \cos \left( {6\pi  + \frac{\pi }{3}} \right) =
 = \sqrt 3 \sin \frac{{2\pi }}{3} + \cos \frac{\pi }{3} = \sqrt 3
 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} = 2.

Ответ: 2.

B6. Функция y = f(x) определена на промежутке ( - 5;\,7). График ее производной изображен на рисунке. Найдите промежутки убывания функции y = f(x). В ответе укажите наибольшую из длин этих промежутков.
Решение. Интервалы убывания функции f(x) совпадают с интервалами, на которых ее производная отрицательна. Производная отрицательна на интервалах (- 5;\, - 3) и (2;\,6), длины которых соответственно равны 2 и 4. Наибольшая длина – 4.

Ответ: 4.

B7. Найдите наибольший корень уравнения (3^{2,5 - 2x^2 } - \sqrt 3 ) \cdot \log _5 (3 - 10x) = 0.
Решение. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Так как множитель 3^{2,5 - 2x^2 }  - \sqrt 3 определен при любых значениях x, имеем:
а) \log _5 (3 - 10x) = 0 \Leftrightarrow 3 - 10x = 1 \Leftrightarrow x = 0,2;
б)

\left\{ \begin{array}{l} 3^{2,5 - 2x^2 }  - \sqrt 3  = 0 \\
3 - 10x > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
3^{2,5 - 2x^2 }  = 3^{0,5}  \\ x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 2,5 - 2x^2  = 0,5 \\ x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x^2  = 1 \\
x < 0,3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1.

Больший корень исходного уравнения — число 0,2.
Ответ: 0,2.

B8. Найдите значение функции y(x) = \frac{{g(x) + f(- x) + 2g( - x)}}{{5f(x)}} в точке x_0 , если известно, что функция y = f(x) четная, функция y =
g(x) нечетная, f(x_0 ) = 1, g(x_0 ) =  - 3.
Решение. В силу четности y = f(x) имеем: f( - x_0 ) = f(x_0 ) = 1. В силу нечетности y = g(x) имеем: g( - x_0 ) = - g(x_0 ) = 3. Тогда

y(x_0 ) = \frac{{g(x_0 ) + f( - x_0 ) + 2g( - x_0 )}}{{5f(x_0 )}} = \frac{{ - 3 + 1 + 2 \cdot 3}}{{5 \cdot 1}} = \frac{4}{5} = 0,8.

Ответ: 0,8.

B9. Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объемом 560 страниц. Один сотрудник, отдав второму 80 страниц рукописи, взял остальные себе. Второй выполнил свою работу за время, в 8 раз меньшее, чем первый свою. Сколько страниц рукописи первый сотрудник должен был сразу отдать второму (взяв себе остальные), чтобы они, работая с прежней производительностью, выполнили свою работу за одинаковое время?
Решение (1 способ). Если второй сотрудник выполнил свою работу за x дней, то он редактировал по \frac{{80}}{x} страниц в день, а первый — по \frac{{560 - 80}}{{8x}} = \frac{{60}}{x} страниц в день. Поэтому первому сотруднику нужно было разделить 560 страниц в отношении \frac{{60}}{x}:\frac{{80}}{x} = 3:4 и отдать из них четыре части, т. е. 560 \cdot \frac{4}{{3 + 4}} = 320 страниц, второму сотруднику.
Решение (2 способ). Второй сотрудник редактировал 80 страниц рукописи за время в восемь раз меньшее, чем первый 480 страниц рукописи. Если бы они работали с одной скоростью, то за время, в восемь раз меньшее, он должен был бы отредактировать 60 страниц. Значит, он работает со скоростью \frac{{80}}{{60}} = \frac{4}{3} скорости первого работника, и для того чтобы они закончили одновременно, работа должны быть разделена между ними в отношении 4:3. Таким образом, первый сотрудник должен отдать второму \frac{4}{7} \cdot 560 = 320 страниц.
Ответ: 320.

B10. Через образующую BC цилиндра проведено сечение BCDE. Объем цилиндра равен 1440\pi , BE = 8 тангенс угла между прямой CE и плоскостью основания равен 1,25. Найдите площадь осевого сечения.
Решение.
1. Имеем: DE \bot CD, EC — наклонная, CD — ее проекция на плоскость основания, угол ECD — угол между прямой CE и плоскостью основания. Тогда, учитывая CD = BE = 8, из прямоугольного треугольника ECD находим: DE = CD \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} \angle ECD =
8 \cdot 1,25 = 10.
2. Поскольку V_{цил.}  = 1440\pi и V_{цил.} = \pi R^2 H, имеем: \pi R^2 \cdot ED = 1440\pi , откуда R = 12.
3. Пусть EDKM — осевое сечение цилиндра. Поскольку EDKM — прямоугольник и EM = 2R = 24, имеем: S_{EDKM}  = DE \cdot EM = 10 \cdot 24 = 240.
Ответ: 240.

B11. Дан ромб ABCD с острым углом A. Высота BH, проведенная к стороне CD, пересекает диагональ AC в точке M. Найдите площадь треугольника CMH, если высота ромба равна 8, а площадь ромба равна 80.
Решение.
1. Найдем сторону ромба: S_{{\rm{}}} = DC \cdot BH, откуда, 80 = DC \cdot 8, DC = 10.
2. Из прямоугольного треугольника BCH находим CH = \sqrt
{BC^2  - BH^2 } = \sqrt {100 - 64}  = 6.
3. В треугольнике BCH отрезок CM — биссектриса. Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

\frac{{MH}}{{BM}} = \frac{{CH}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} =
\frac{3}{5}, откуда \frac{{MH}}{{BH}} = \frac{3}{8}.

4. Отрезок CH – общая высота треугольников CMH и CBH, следовательно, отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований MH и BH:

\frac{{S_{CMH} }}{{S_{CBH} }} = \frac{{MH}}{{BH}} =
\frac{3}{8}, откуда S_{CMH}  = \frac{3}{8}S_{BCH}  =
\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{2} \cdot CH \cdot BH = \frac{3}{8} \cdot
\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 9.

Ответ: 9.


Часть C

C1. Найдите все значения x, для которых точки графика функции y = \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} лежит ниже соответствующих точек графика функции y =  - \frac{3}{{12 - 4x}}.
Решение. Множество искомых значений x совпадает со множеством решений неравенства \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} <  - \frac{3}{{12 - 4x}}, решая которое, последовательно получаем:

\frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} <  - \frac{3}{{12 -
4x}} \Leftrightarrow \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x)}}{{12 - 4x}} +
\frac{3}{{12 - 4x}} < 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \frac{{\log _{0,2} (20 - 5x) + 3}}{{12 - 4x}} < 0.

Решим последнее неравенство методом интервалов (на рисунке на первой оси отмечена область определения неравенства, задаваемая соотношениями 20 - 5x > 0 и 12 - 4x \ne 0, а на второй — корни числителя и знаменателя):

x <  - 21, 3 < x < 4.

Ответ: ( - \infty ;\, - 21) \cup (3;\,4).

C2. Решите уравнение \sqrt {16 - 8x + x^2 }  + \sqrt {4x^2 - 13x - 17}  = x - 4.
Решение. Заметим, что \sqrt {16 - 8x + x^2 }  = \sqrt {(4 - x)^2 }  = |4 - x|. Тогда:

\sqrt {16 - 8x + x^2 }  + \sqrt {4x^2  - 13x - 17}  = x - 4
\Leftrightarrow |4 - x| + \sqrt {4x^2  - 13x - 17}  = x - 4 \Leftrightarrow

Поскольку правая часть полученного уравнения должна быть неотрицательна, имеем условие: x - 4 \ge 0, откуда |4 - x| = x - 4 и уравнение принимает вид \sqrt {4x^2  - 13x - 17}  = 0, где x \ge 4. (*)
Далее имеем:

\sqrt {4x^2  - 13x - 17} = 0 \Leftrightarrow 4x^2  - 13x - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 1, \\ x = \frac{{17}}{4}. \\\end{array} \right.

Условию (*) отвечает число \frac{{17}}{4}.
Ответ: \left \{ \frac{{17}}{4} \right \}

C3. Найдите все значения a, при каждом из которых наибольшее из двух чисел b = 9^a  + 3^{2 + a} - 1 и c = 3^{2 - a} - 9^{ - a}  - 5 меньше 9.
Решение. Наибольшее из двух чисел меньше девяти тогда и только тогда, когда каждое из них меньше 9 (если числа равны друг другу, наибольшим считается каждое из них).
Таким образом, имеем:

\left\{ \begin{array}{l} 9^a  + 3^{2 + a}  - 1 < 9, \\ 3^{2 - a}  - 9^{ - a}  - 5 < 9 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 9^a  + 9 \cdot 3^a  - 10 < 0, \\ 9^{ - a}  + 9 \cdot 3^{ - a}  - 14 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (3^a  - 1)(3^a  + 10) < 0, \\ (3^{ - a}  - 2)(3^{ - a}  - 7) > 0 \\\end{array} \right. \mathop \Leftrightarrow \limits_{3^a  + 10 > 0} \left\{\begin{array}{l}
3^a  - 1 < 0, \\(3^{ - a}  - 2)(3^{ - a}  - 7) > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^a  < 1, \\\left[ \begin{array}{l}3^{ - a}  < 2; \\3^{ - a}  > 7 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3^{ - a}  > 1, \\
\left[ \begin{array}{l} 3^{ - a}  < 2; \\ 3^{ - a}  > 7 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits_{3 > 1} \left[\begin{array}{l} 1 < 3^{ - a}  < 2; \\ 3^{ - a}  > 7 \\\end{array} \right. \mathop  \Leftrightarrow \limits_{3 > 1}
\mathop  \Leftrightarrow \limits_{3 > 1} \left\{ \begin{array}{l}
1 <  - a < \log _3 2, \\ - a > \log _3 7 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \log _3 2 < a <  - 1, \\ a <  - \log _3 7. \\\end{array} \right.

Ответ: a \in ( - \infty ;\, - \log _3 7) \cup ( - \log _3 2;\,0).

C4. Отрезок PN, равный 8, – диаметр сферы. Точки M и L лежат на сфере так, что объем пирамиды PNML наибольший. Найдите площадь треугольника KLT, где K и T – середины ребер PM и [tex]NM соответственно.
Решение. Примем треугольник LNP за основание пирамиды PNML, а отрезок PN – за основание треугольника LNP (см.рис). Тогда объем пирамиды PNML можно вычислить по формуле V = {\textstyle{1 \over 3}} \cdot {\textstyle{1 \over 2}} \cdot PN \cdot h \cdot H = {\textstyle{1 \over 3}}RhH, где R – радиус данной сферы, h – высота треугольника LNP, проведенная из вершины L, H – высота пирамиды PNML. Поскольку PN – диаметр данной сферы, а точка L лежит на сфере, треугольник LNP – прямоугольный треугольник, вписанный в окружность, радиус которой равен радиусу R данной сферы. Следовательно, наибольшее значение высоты h треугольника LNP равно R. Плоскость LNP отсекает от данной сферы полусферу, следовательно, наибольшее расстояние от точек сферы до этой плоскости также равно радиусу сферы, откуда R – наибольшее значение высоты H пирамиды PNML. Таким образом, пирамида PNML имеет наибольший объем, если треугольники PLN и PMN прямоугольные, равнобедренные треугольники с общей гипотенузой PN, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях (см. рис.).
Далее имеем:
1) Треугольники LON, LOP, LOM, POM, NOM равны по двум катетам.
2) Треугольники LMN и LMP – равносторонние треугольники со стороной NL = PL = ON\sqrt 2  = 4\sqrt 2 . Медианы LK и LT этих треугольников равны: LK = LT = \frac{{PL\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 6 .
3) Поскольку KT – средняя линия треугольника PMN прямая КТ параллельна прямой PN и KT = \frac{1}{2}PN = R = 4. В свою очередь, прямая PN перпендикулярна двум пересекающимся прямым MO и OL плоскости МOL, значит, она перпендикулярна самой этой плоскости. Тогда прямая КТ также перпендикулярна плоскости МOL, а, значит, и прямой LD, лежащей в этой плоскости.
4) Треугольник KLT равнобедренный, и его высота LD является медианой прямоугольного равнобедренного треугольника LOM, откуда LD = \sqrt {LO^2  + OD^2 }  = 2\sqrt 5 .
Окончательно находим:

S_{KLT} = \frac{1}{2}KT \cdot LD = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot
2\sqrt 5  = 4\sqrt 5 .

Ответ: 4\sqrt 5 .

C5. Даны два уравнения \log _7 (x(12 + \sqrt { - p})) = p(p - 1) - 6x + 3 и 2x - \frac{{25}}{x} = \frac{{x^2  - (5p - 3)x + 15}}{{x(p + 1)}}. Значение параметра p выбирается так, что p \le 0, p \ne  - 1 и число различных корней первого уравнения в сумме с числом p + 5 дает число различных корней второго уравнения. Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранном таким образом.
Решение. Умножив обе части уравнения 2x - \frac{{25}}{x} = \frac{{x^2  - (5p - 3)x + 15}}{{x(p + 1)}} на общий знаменатель x(p + 1), получаем

2x^2 (p + 1) - 25(p + 1) = x^2  - (5p - 3)x + 15 \Leftrightarrow (2p + 1)x^2  + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0.

По смыслу задачи p – целое отрицательное число, отличное от минус единицы и, кроме того, x = 0 не является корнем уравнения (2p + 1)x^2  + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0, следовательно, это уравнение равносильно данному уравнению.
Далее имеем:

(2p + 1)x^2  + (5p - 3)x - 5(5p + 8) = 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow (x + 5)((2p + 1)x - (5p + 8)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  - 5; \\ (2p + 1)x = 5p + 8. \\\end{array} \right.

Таким образом, корнями рассматриваемого уравнения являются решения уравнения (2p + 1)x = 5p + 8 и число  - 5. Поскольку коэффициент при х в уравнении (2p + 1)x = 5p + 8 отличен от нуля при всех допустимых значениях параметра р, данное уравнение имеет единственное решение, не равное 
- 5 при целых значениях параметра р. Поэтому число различных корней второго уравнения равно 2.
Рассмотрим теперь уравнение \log _7 (x(12 + \sqrt { - p} )) =
p(p - 1) - 6x + 3. Логарифмическая функция с основанием 7 – функция возрастающая и линейная функция y = x(12 + \sqrt { - p}) – возрастающая функция поскольку (12 + \sqrt { - p}
) > 0, следовательно, сложная функция y = \log _7 (x(12 +
\sqrt { - p} )) – также возрастающая функция. С другой стороны, линейная функция y = p(p - 1) - 6x + 3 – убывающая функция, так как  - 6 < 0 (см. рис). Таким образом, данное уравнение имеет не более одного корня. Ясно, что в нашем случае это корень есть.
По условию число различных корней первого уравнения в сумме с числом p + 5 дает число различных корней второго уравнения, тогда 1 + (p + 5) = 2, откуда p = - 4.
Первое уравнение при p =  - 4 принимает вид \log _7
14x = 23 - 6x. Подбором находим x = 3,5. Как показано ранее, найденный корень единственный.
Ответ: \{ 3,5\} .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке