На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2006 года


Единый государственный экзамен по математике, 2006 год

Часть A

A1. Упростите выражение \frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7}}}.

1. 2,1 2. 7^{2,1} 3. 7^4 4. 4

       Решение. Поскольку \frac{{a^x }}{{a^y }} = a^{x - y}, получаем:

\frac{{7^{2,8} }}{{7^{0,7} }} = 7^{2,8 - 0,7}  = 7^{2,1} .

Правильный ответ: 2.

A2. Найдите значение выражения 12\log _6 (6^2).

1. 2^{12} 2. 144 3. 24 4. 14

       Решение. Так как \log_a a = 1 и \log_a x^n = n\log _a x при x > 0 имеем:

12\log _6 (6^2) = 2 \cdot 12\log _6 6 = 2 \cdot
12 \cdot 1 = 24.

Правильный ответ: 3.

A3. Вычислите \sqrt[3] {125 \cdot 0,027}.

1. 1,5 2. 0,15 3. 15 4. 0,015

       Решение. Используя формулы \sqrt[n] {ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} и \sqrt[n]{a^n} = a (a > 0,\;b > 0), получаем:

\sqrt[3]{{125 \cdot 0,027}} = \sqrt[3]{{125}} \cdot
\sqrt[3]{{0,027}} = \sqrt[3]{{5^3 }} \cdot \sqrt[3]{{0,3^3 }} = 5 \cdot
0,3 = 1,5.

Правильный ответ: 1.

A4. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающий на промежутке [ - 1;\;2]?

1. 2.
3. 4.

       Решение. Функция возрастает на промежутке, если для любых двух значении аргумента из этого промежутка большему из них соответствует большее значение функции.
Правильный ответ: 4.

A5. Найдите множество значений функции y = \frac{7}{3}\cos x.

1. [ - 1;\;1] 2. \left[-\frac{7}{3};\;\frac{7}{3}} \right] 3. \left[ {0;\;\frac{7}{3}} \right] 4. ( - \infty ;\; + \infty )

       Решение. Так как |\cos x| \le 1, имеем:

 - 1 \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \; - \frac{7}{3} \le \frac{7}{3}\cos x \le \frac{7}{3}.

Правильный ответ: 2.

A6. Найдите область определения функции f(x) = \frac{{31}}{{4 - \sqrt[4]{x}}}.

1. [0;\;256) \cup (256;\; + \infty ) 2. ( - \infty ;\;256) \cup (256;\; + \infty )
3. [0;\;4) \cup (4;\; + \infty ) 4. [0;\; + \infty )

       Решение. Область определения данной функции задается системой \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.
Имеем:

\left\{ \begin{array}{l} x \ge 0, \\ 4 - \sqrt[4]{x} \ne 0. \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{\begin{array}{l} x \ge 0, \\\sqrt[4]{x} \ne 4 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0, \\x \ne 256 \\\end{array} \right.\; \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l}0 \le x < 256, \\256 < x <  + \infty.  \\\end{array} \right.

Правильный ответ: 1.

A7. На рисунке изображены графики функций y = f(x) и y = g(x), заданных на промежутке [–3; 6]. Укажите те значения x, для которых выполняется неравенство f(x) \le g(x).

1. [ - 1;\;1]
2. [ - 2;\;2]
3. [ - 3;\; - 1] \cup [1;\;6]
4. [ - 3;\; - 2] \cup [2;\;6]

       Решение. Для решения задачи достаточно указать абсциссы всех тех точек графика функции y = f(x), которые лежат не выше точек графика функции y = g(x).
Правильный ответ: 1.

A8. Найдите производную функции y = \frac{7}{6}x^6 - 5x^4 - 17.

1. y' = 7x^5 - 20x^3
2. y' = \frac{1}{6}x^7 - x^5 - 17x
3. y' = 7x^7 - x^5 - 17x
4. y' = 7x^5 - 9x^3

       Решение. Пользуясь формулой (x^p )' = px^{p - 1} и правилами дифференцирования, получаем:

\left( {\frac{7}{6}x^6 - 5x^4  - 17x} \right)^\prime = 6 \cdot \frac{7}{6}x^5 - 4 \cdot 5x^3  = 7x^5  - 20x^3 .

Правильный ответ: 1.

A9. Решите уравнение {\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1.

1. - \pi + 4\pi n,\;n \in \mathbb{Z}
2. - \frac{\pi }{{16}} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}
3. - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}
4. - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z}

       Решение.

{\mathop{\rm tg}\nolimits} 4x = - 1 \Leftrightarrow 4x = - \frac{\pi }{4} + \pi n,\;n \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{{16}} + \frac{{\pi n}}{4},\;n \in \mathbb{Z}.

Правильный ответ: 3.

A10. Решите неравенство \log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}}(4x).

1. ( - \infty ;\;6) 2. \left( \frac{6}{5};\;6 \right) 3. \left( \frac{6}{5};\; + \infty ) 4. (6;\; + \infty )

       Решение. Пользуясь свойствами логарифмической функции, основание которой меньше 1, имеем:

\log _{\frac{1}{7}} (5x - 6) > \log _{\frac{1}{7}} (4x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x - 6 < 4x, \\ 5x - 6 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x < 6, \\ x > \frac{6}{5} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{6}{5} < x < 6.

Правильный ответ: 2.


Часть B

B1. Решите уравнение 4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80.
       Решение. Поскольку 4^{x + 2} = 4^x \cdot 4^2 , вынося за скобки общий множитель 4^x, получаем:

4^{x + 2} - 11 \cdot 4^x = 80 \Leftrightarrow 4^x
(4^2  - 11) = 80 \Leftrightarrow 5 \cdot 4^x  = 80 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 4^x = 16 \Leftrightarrow 4^x  = 4^2 \Leftrightarrow x = 2.

Ответ: \{2\}.

B2. Решите уравнение 4 \cdot 5^{\log _5 x}  = 2x + 3.
       Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством и учитывая условие существования логарифма, имеем:

4 \cdot 5^{\log _5 x} = 2x + 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = 2x + 3, \\ x > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.

Ответ: \left\{\frac{3}{2}\right\}.

B3. Найдите значение выражения 3\cos \left(
{\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi  - \alpha ), если \sin \alpha = \frac{3}{10}.
       Решение. Пользуясь формулами приведения, получаем:

3\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) + \sin (\pi  - \alpha ) =  - 3\sin \alpha  + \sin \alpha  =  - 2\sin \alpha  = - \frac{3}{5}.

Ответ: - \frac{3}{5}.

B4. Вычислите: 7\log _{9\sqrt[3]{3}}
(27\sqrt[3]{3}).
       Решение. Последовательно используем свойства степеней и логарифмов:

7\log _{9\sqrt[3]{3}} (27\sqrt[3]{3}) = 7\log _{3^2  \cdot
3^{\frac{1}{3}} } (3^3  \cdot 3^{\frac{1}{3}} ) = 7\log_{3^{\frac{7}{3}} } (3^{\frac{{10}}{3}} ) = 7 \cdot \frac{3}{7} \cdot
\frac{{10}}{3}\log _3 3 = 10.

Ответ: 10.

B5. К графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 проведена касательная. Найдите ее угловой коэффициент, если на рисунке изображен график производной этой функции.
       Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x_0 = 4 равен значению производной функции y = f(x) в этой точке, т.е. f'(4).
Ответ: - 2.

B6. Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции y = 2^{(x - 2)^2 - 3} на отрезке [0;\, 3].
       Решение. Парабола y = (x - 2)^2 - 3, ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке (2; - 3), следовательно, функция f(x) = (x - 2)^2 - 3 убывает на отрезке [0;\,2] и возрастает на отрезке [2;\,3]. Имеем: f(0) = 1, f(2) = - 3, f(3) = - 2. Показательная функция с основанием, большим 1, – функция возрастающая, откуда \mathop {\max }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} )
= 2^1  = 2, \mathop {\min }\limits_{[0;\;3]} (2^{f(x)} ) = 2^{ - 3} = \frac{1}{8} = 0,125.
       Искомая разность равна 2 - 0,125 = 1,875.
Ответ: 1,875.

B7. Решите уравнение 16x^2  - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3  + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right).
       Решение.

16x^2 - 24x + 12 = \left( {\sqrt 3 - \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)\left( {\sqrt 3  + \sin \frac{{8\pi x}}{3}} \right)
 \Leftrightarrow 16x^2  - 24x + 12 = 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3}.

       Парабола y = 16x^2 - 24x + 12, ветви которой направлены вверх, имеет вершину в точке (x_0 ;\;y_0 ), где x_0  = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{24}}{{2 \cdot 16}} = \frac{3}{4}, y_0  = y(x_0 ) = 3. Следовательно, 16x^2  - 24x + 12 \ge 3.
       С другой стороны, имеем \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \ge 0 \Rightarrow 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} \le 3.
       Таким образом, данное уравнение равносильно системе \left\{\begin{array}{l}16x^2  - 24x + 12 = 3, \\ 3 - \sin ^2 \frac{{8\pi x}}{3} = 3. \\
\end{array} \right.
       Единственное решение первого уравнения системы, x = \frac{3}{4}, удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, это решение системы.
Ответ: \left\{\frac{3}{4}\right\}.

B8. Найдите значение функции y = f(x)g( - x) + 2f( - x) в точке x_0 , если известно, что функция y = f(x) – четная, функция y = g(x) – нечетная, f(x_0 ) = 2, g(x_0 ) =  - 3.
       Решение. По условию, функция y = f(x) – четная, а функция y = g(x) – нечетная, следовательно, f( - x) = f(x), g( - x) =  - g(x). Тогда данная функция y = f(x)g( - x) + 2f( - x) принимает вид y = - f(x)g(x) + 2f(x), откуда находим:  - f(x_0 )g(x_0 ) + 2f(x_0) =  - 2 \cdot ( - 3) + 2 \cdot 2 = 10.
Ответ: 10.

B9. Объемы ежегодной добычи нефти первой, второй и третьей скважинами относятся как 4:5:7. Планируется уменьшить годовую добычу нефти из первой скважины на 7\% и из второй – тоже на 7\%. На сколько процентов нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился?
       Решение. Примем объем ежегодной добычи нефти из первой скважины за 4а, тогда объемы ежегодной добычи нефти второй и третьей скважинами равны соответственно 5а и 7а, а суммарный объем ежегодной добычи нефти равен 16a. После уменьшения годовой добычи нефти из первой и второй скважин на 7\% объем добываемой из них нефти будет равен 0,93(4a + 5a) = 8,37a и на «долю» третьей скважины останется 16a - 8,37a = 7,63a. Пусть n – то количество процентов, на которое нужно увеличить годовую добычу нефти из третьей скважины, чтобы суммарный объем добываемой за год нефти не изменился. Тогда имеем (1 + 0,01n) \cdot 7a = 7,63a, откуда 1 + 0,01n = 1,09 и, окончательно, n = 9.

Ответ: 9.

B10. Основание прямой призмы ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 — параллелограмм ABCD, в котором AB = 4, \angle ABC = 30^\circ. Высота призмы равна 3. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью ADC_1
.
       Решение. Построим высоту CК параллелограмм ABCD и соединим отрезком точки C_1 и К. (см. рис.). Поскольку ABCDA_1 B_1 C_1 D_1 – прямая призма, C_1 C \bot (ABC). Значит СК – проекция наклонной C_1 K на плоскость ABС, и, на основании теоремы о трех перпендикулярах, C_1 K \bot AD. Следовательно, угол C_1 KC – линейный угол двугранного угла C_1 ADC. Основание данной призмы – параллелограмм ABCD, откуда, на основании свойств параллелограмма, CD = AB, \angle CDA = \angle ABC.
       Далее находим:
а) из прямоугольного треугольника CDK: CK = CD\sin \hat D = 4 \cdot \sin 30^\circ = 2;
б) из прямоугольного треугольника C_1 KC: {\mathop{\rm tg}\nolimits} \hat K = \frac{{C_1 C}}{{CK}} = \frac{3}{2}.

Ответ: \left\{\frac{3}{2}\right\}.

B11. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна 8, а синус угла между диагональю и основанием равен \frac{2}{{\sqrt {13}}}.
       Решение. Пусть ABCD – данная трапеция (AD\parallel BC), отрезки ВК и СМ – ее высоты (см. рис). Поскольку ABCD – равнобедренная трапеция, AK = MD = \frac{{AD - BC}}{2}, откуда AM = AD - MD = AD - \frac{{AD - BC}}{2} = \frac{{AD + BC}}{2}. Таким образом, отрезок АМ равен средней линии трапеции и, следовательно, S_{ABCD} = AM \cdot CM.
       Из прямоугольного треугольника АСМ находим:

AC = \frac{{CM}}{{\sin \angle CAM}} = \frac{{8 \cdot \sqrt {13}}}{2} = 4\sqrt {13} ; AM = \sqrt {AC^2  - CM^2 } = \sqrt
{16 \cdot 13 - 64}  = \sqrt {16 \cdot 9} = 12.

       Окончательно имеем S_{ABCD} = 12 \cdot 8 = 96.
Ответ: 96.

Часть C

C1. Решите уравнение \sin 0,8x = ( \sqrt
{4 - x^2 })^2 + x^2 - 3.
       Решение. Область допустимых значений (ОДЗ) задается неравенством 4 - x^2 \ge 0, решая которое, получаем  - 2 \le x \le 2. На этом множестве имеем

\sin 0,8x = ( \sqrt {4 - x^2 })^2  + x^2  - 3 \Leftrightarrow \sin 0,8x = 4 - x^2  + x^2  - 3 \Leftrightarrow
\sin 0,8x = 1 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 0,8x = \frac{\pi }{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi k}}{2}, k \in \mathbb{Z}.

       Далее имеем:
а) если k \le - 1, то x \le \frac{{5\pi }}{8} -
\frac{{5\pi }}{2} =  - \frac{{15\pi }}{8} <  - \frac{{15 \cdot 3}}{8} <
 - 2;
б) если k \ge 1, то x \ge \frac{{5\pi }}{8} + \frac{{5\pi }}{2} = \frac{{25\pi }}{8} > \frac{{25 \cdot 3}}{8} >
2;
в) если k = 0, то \;x = \frac{{5\pi }}{8} < \frac{{5
\cdot 3,2}}{8} = 2.
Таким образом, x = \frac{{5\pi }}{8} – единственный корень данного уравнения.
Ответ: \left\{ {\frac{{5\pi }}{8}} \right\}.

С2. Найдите все значения x, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций f(x) = \log _{36} (9x + 27) и g(x) = 1,25 меньше, чем 0,25.
       Решение. Искомое множество совпадает с множеством решений неравенства |{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25.
       Решим это неравенство:

|{\log _{36} (9x + 27) - 1,25}| < 0,25 \Leftrightarrow - 0,25 < \log _{36} (9x + 27) - 1,25 < 0,25 \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow 1 < \log _{36} (9x + 27) < 1,5 \mathop  \Leftrightarrow \limits_{36 > 1} 36 < 9x + 27 < 216 \Leftrightarrow 1 < x < 21.

Ответ: (1;\, 21).

С3. Требуется разметить на земле участок A B C D E F G H площадью 2000 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где FG = BC = 20, EF = 10 и CD \ge 15. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL, LH и CD, при которых периметр является наименьшим.
       Решение. Обозначим через x, y и S соответственно длины отрезков LH, KL и площадь участка A B C D E F G H. Тогда периметр Р данного участка выражается формулой P = 2(x + y).
О       ценим площадь прямоугольника AKLH:

S_{AKLH} = S + EF \cdot FG + CD \cdot BC = 2000 + 200 + 20 \cdot CD \ge 2200 + 20 \cdot 15 = 2500.

       Значит, xy \ge 2500, откуда, учитывая y > 0, получаем y \ge \frac{{2500}}{x}. Следовательно, P \ge 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right).
       Найдем наименьшее значение функции P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right) на промежутке (0;\; + \infty). (Учитывая условие, можно более точно указать интересующий нас промежуток: (15;\; + \infty).)
       На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух неотрицательных чисел получаем \frac{{x + \frac{{2500}}{x}}}{2} \ge \sqrt {x \cdot \frac{{2500}}{x}} \Leftrightarrow x + \frac{{2500}}{x} \ge 100. При этом равенство достигается, тогда и только тогда, когда x = \frac{{2500}}{x}, откуда, учитывая x > 0, получаем x = 50. (Исследование функции P(x) = 2\left( {x + \frac{{2500}}{x}} \right) можно было также провести с помощью производной.)
       Таким образом, P(50) = 200 – наименьшее значение функции P(x) на промежутке (0;\; + \infty ), и достигается оно при x = y = 50. При этом CD = 15.
Ответ: 200 м, 50 м, 50 м, 15 м.

C4. В пирамиде FABC грани ABF и ABC перпендикулярны, FB:FA = 13:3. Тангенс угла между прямой BC и плоскостью ABF равен 1,5. Точка M выбрана на ребре BC так, что BM:MC = 2:3. Точка T лежит на прямой AF и равноудалена от точек M и B. Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, площадь этой сферы равна 4\pi. Найдите объем пирамиды ACMT.
       Решение. Опустим перпендикуляры TK и CE из точек T и C соответственно на плоскости ABC и ABF и перпендикуляр TN из точки T на прямую BC, а также построим отрезки KN и KM (см. рис).
       Поскольку плоскости ABF и ABC перпендикулярны, точки K и E лежат на их линии пересечения – прямой AB и отрезки TK и CE перпендикулярны AB. Кроме того, на основании теоремы о трех перпендикулярах, KN \bot BC, так как KN – проекция TN на плоскость ABC.
       Отрезки BK и KM – проекции равных наклонных BT и MT на плоскость ABC, следовательно, BK = KM. Таким образом, отрезок KN является высотой равнобедренного треугольника BKM, а, следовательно, является и его медианой, откуда BN = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{5}BC.
       Центр сферы, описанной около пирамиды FABC, лежит на ребре AB, следовательно, AB – диаметр 2R этой сферы. Так как любое сечение сферы плоскостью есть окружность, углы AFB и ACB – вписанные углы, опирающиеся на диаметр AB, следовательно, AC \bot BC и AF \bot BF.
       Так как BE – проекция BC на плоскость ABF, угол CBE является углом между прямой BC и плоскостью ABF.
       Далее имеем:
1) По условию, площадь сферы, описанной около пирамиды FABC, равна 4\pi, откуда 4\pi R^2 = 4\pi, R =
1, AB = 2.
2) Прямые KN и AC параллельны, так как они лежат в одной плоскости и перпендикулярны одной прямой BC, следовательно, \Delta KBN \sim \Delta ABC, откуда \frac{{BK}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{5}, BK = \frac{1}{5}AB, а, значит, AK = \frac{4}{5}AB = \frac{8}{5}.
3) В прямоугольном треугольнике ABC тангенс угла B равен \frac{3}{2}, следовательно, AC = \frac{3}{2}BC. Тогда BC^2 + AC^2 = AB^2, BC^2 + \frac{9}{4}BC^2 = 4, BC^2 = \frac{{16}}{{13}}, S_{\Delta ABC}  = \frac{1}{2}BC \cdot AC = \frac{1}{2}BC \cdot \frac{3}{2}BC = \frac{3}{4}BC^2  = \frac{{12}}{{13}}.
4) Треугольники ABC и AMC имеют общую высоту, проведенную из вершены A, следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований MC и BC, откуда получаем \frac{{S_{\Delta AMC} }}{{S_{\Delta ABC} }} = \frac{{MC}}{{BC}} =
\frac{3}{5}, S_{\Delta AMC} = \frac{3}{5} \cdot \frac{{12}}{{13}} = \frac{{36}}{{65}}.
5) Прямоугольные треугольники ATK и AFB подобны, так как имеют общий острый угол A, следовательно, \frac{{KT}}{{FB}} = \frac{{AK}}{{FA}}, откуда KT = \frac{{FB}}{{FA}} \cdot AK = \frac{{13}}{3} \cdot \frac{8}{5} = \frac{{104}}{{15}}.
       Окончательно имеем

V_{ACMT} = \frac{1}{3}S_{\Delta ACM} KT = \frac{{36 \cdot
104}}{{3 \cdot 65 \cdot 15}} = \frac{{416}}{{325}}.

Ответ: \frac{416}{325}.

C5. Найдите все значения a, при каждом из которых оба числа a \cdot 4^a и 4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5} - a^2  \cdot 16^{a - 0,5} + 1} \right) являются решениями неравенства \log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0.
       Решение. Пусть a \cdot 4^a = t. Тогда

4\left( {a \cdot 4^{a - 0,5}  - a^2  \cdot 16^{a - 0,5}  +
1} \right) = 4\left( {\frac{{a \cdot 4^a }}{{4^{0,5} }} - \frac{{a^2 
\cdot 4^{2a} }}{{16^{0,5} }} + 1} \right) =
= 2t - t^2  + 4 =  - (t - 1)^2  + 5.

       Решим теперь неравенство \log _{x - 0,5} \left( {\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}}} \right) \ge 0.
1) Если 0,5 < x < 1,5, то данное неравенство равносильно системе неравенств \left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1, \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0. \\\end{array} \right.
       Решая эту систему, последовательно получаем:

\left\{ \begin{array}{l} \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 1 \\\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \le 4 \\
\frac{{x - 9}}{{x - 6}} > 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{ - 3x + 15}}{{x - 6}} \le 0 \\\frac{{ - 3}}{{x - 6}} > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \ge 0 \\ x - 6 < 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 5.

       Таким образом, все числа промежутка (0,5;\, 1,5) являются решениями данного неравенства.
2) Если x > 1,5, то данное неравенство равносильно неравенству \log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1, решая которое, получаем:

\log _4 \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{{x - 9}}{{x - 6}} \ge 4 \Leftrightarrow \frac{{x - 5}}{{x - 6}} \le 0 \Leftrightarrow 5 \le x < 6.

       Так как все числа промежутка [5;\, 6) удовлетворяют условию x > 1,5, они являются решениями данного неравенства.
       Итак, множество (0,5;\;1,5) \cup [5;\;6) – есть множество решений данного неравенства и, по условию, числа t и  - (t - 1)^2  + 5 должны принадлежать этому множеству.
       Точка (1;\, 5) – вершина параболы z(t) =  - (t - 1)^2  + 5, ветви которой направлены вниз.
       На промежутке [5;\, 6) функция z(t) =  - (t - 1)^2  + 5 убывает и, если t \in [5;\;6), то z(t) \le z(5) = - 11, т.е. в этом случае число  - (t - 1)^2  + 5 не является решением данного неравенства.
       Если t \in (0,5;\;1,5), то z_1  < z(t) \le 5, где z_1 – меньшее из чисел z(0,5) и z(1,5). Поскольку z(0,5) = z(1,5) = 4,75, в этом случае только число z(1) = 5 является решением данного неравенства.
       Итак, только при t = 1 оба числа являются решениями данного неравенства.
       Осталось решить относительно a уравнение a \cdot 4^a  = 1. (1)
       При a \le 0 левая часть уравнения (1) неположительна, а правая положительна, значит, уравнение не имеет неположительных корней.
       При a > 0 уравнение (1) равносильно уравнению 4^a = \frac{1}{a}. (2)
       Поскольку y = 4^a – возрастающая функция, а функция y = \frac{1}{a} убывает при a > 0, уравнение (2) имеет на промежутке (0;\; + \infty ) не более одного корня. Подбором находим a = \frac{1}{2}.
Ответ: \frac{1}{2}.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке