На главую страницу

Математика → Методика → Экзамены → ЕГЭ по математике → Варианты ЕГЭ по математике → Вариант 2001 года


Единый государственный экзамен по математике, 2001 год

Часть A

A1. Найдите значение выражения 81^{\frac{1}{4}} - 3\sqrt 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}.

1. -6 2. \sqrt 3 3. 6 4. 11,25

Решение. Используя свойства степени получаем:

81^{\frac{1}{4}} - 3\sqrt 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3
- 3 \cdot 3 = 3 - 9 =  - 6.

Правильный ответ: 1.

A2. Упростите выражение \frac{{\sqrt[3]{{a^2 }} - 16}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a}.

1. -4 2. 4 3. - 2\sqrt[3]{a} 4. 0

Решение. Используя свойства арифметического корня последовательно получаем:

\frac{{\sqrt[3]{{a^2 }} - 16}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a})^2 - 4^2 }}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} = \frac{{(\sqrt[3]{a} - 4)(\sqrt[3]{a} + 4)}}{{\sqrt[3]{a} - 4}} - \sqrt[3]{a} =
= \sqrt[3]{a} + 4 - \sqrt[3]{a} = 4.

Правильный ответ: 2.

A3. Упростите выражение 2^{\log _2 7} + \log _5 75 - \log _5 3.

1. 9 2. 32 3. 51 4. 4

Решение. Используя основное логарифмическое тождество и формулу преобразования разности логарифмов в логарифм частного, получаем:

2^{\log _2 7} + \log _5 75 - \log _5 3 = 7 + \log _5 \left( {\frac{{75}}{3}} \right) = 7 + \log _5 25 = 7 + 2 = 9.

Правильный ответ: 1.

A4. Решите неравенство \left( {\frac{1}{4}} \right)^{x - 3} < \frac{1}{{16}}.

1. (- \infty; \,5) 2. (- \infty; \,7) 3. (5; \,+ \infty) 4. (7; \,+ \infty)

Решение. Перейдем к одному основанию и воспользуемся убыванием показательной функции с основанием меньшим единицы:

\left( {\frac{1}{4}} \right)^{x - 3}  < \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{4}} \right)^{x - 3}  < \left( {\frac{1}{4}} \right)^2 \mathop  \Leftrightarrow \limits_{\frac{1}{4} < 1} x - 3 > 2 \Leftrightarrow x > 5.

Правильный ответ: 3.

A5. Укажите промежуток возрастания функции y = f(x), заданной графиком.

1. ( - 2; \,0)
2. [ - 2; \,2]
3. ( - 2;\, - 1)
4. [0;\, 2]

Решение. Функция убывает на промежутках [ - 2;\,0] и [2; \, + \infty ). Функция возрастает на промежутке [0;\,2].

Правильный ответ: 4.

A6. Упростите выражение \frac{{\sin 2\alpha }}{{\sin \alpha }} - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right).

1. 3\cos \alpha 2. \cos \alpha 3. 0 4. 2\cos \alpha - \sin \alpha

Решение. Используя формулу синуса двойного аргумента и формулу приведения, получим:

\frac{{\sin 2\alpha }}{{\sin \alpha }} - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \frac{{2\sin \alpha \cdot \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} - \cos \alpha = 2\cos \alpha - \cos \alpha = \cos \alpha.

Правильный ответ: 2.

A7. Найдите производную функции g(x) = 3x^4 - \sin x + 5.

1. g'(x) = 12x^3 - \cos x 2. g'(x) = 4x^3 + \cos x
3. g'(x) = 12x^3 + \cos x + 5 4. g'(x) = 12x^3 - \cos x + 5

Решение. Используя формулы (x^n )' = nx^{n - 1}, (\sin x)' = \cos x и (const)' = 0, получим:

g'(x) = 4 \cdot 3x^3 - \cos x = 12x^3 - \cos x.

Правильный ответ: 1.

A8. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \log _2 (x + 1) = 4.

1. (8; \,10) 2. (14; \,16) 3. (6; \,8) 4. (4; \,6)

Решение. Решим уравнение:

\log _2 (x + 1) = 4 \Leftrightarrow x + 1 = 2^4  \Leftrightarrow x + 1 = 16 \Leftrightarrow x = 15.

Корень уравнения принадлежит промежутку (14; \,16).

Правильный ответ: 2.

A9. Найдите область определения функции f(x) = \sqrt {\frac{{x + 2}}{{x - 1}}}.

1. ( - \infty ; \, - 2] \cup [1; \, + \infty ) 2. [ - 2; \,1) 3. ( - \infty ; \, - 2] \cup (1; \, + \infty ) 4. ( - 2; \,1)

Решение. Область определения функции задается неравенством \frac{{x + 2}}{{x - 1}} \ge 0. Решим его методом интервалов.

Видно, что x \le - 2; x > 1.

Правильный ответ: 3.

A10. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x_0.

1. - 2
2. 2
3. - 1
4. 1

Решение. Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной в этой точке. Найдем {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha из треугольника ABC (см. рис.): {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha  = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{4}{4} = 1.

Правильный ответ: 4.

A11. Найдите наименьшее значение функции f(x) = x^3 - 3x на отрезке [0; \,3].

1. 0 2. -4 3. -2 4. 2

Решение. Найдем критические точки данной функции на отрезке [0; \,3]. Производная заданной функции есть f'(x) = 3x^2 - 3, решениями уравнения f'(x) = 0 являются числа -1 и 1, из них отрезку [0; \,3] принадлежит только число 1.
       Вычислим значения функции в точке x = 1 и на концах отрезка [0; \,3] и выберем из них наименьшее: f(1) = - 2, f(0) = 0, f(3) = 18. Тогда искомое наименьшее значение есть -2.

Правильный ответ: 3.

A12. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x^2, y = 0, x = 2.

1. 8 2. \frac{8}{3} 3. 4 4. \frac{7}{3}

Решение. Нарисуем эскизы графиков функций y = x^2, y = 0, x = 2. Фигура, площадь которой требуется найти, на рисунке заштрихована. Площадь этой фигуры S находим по формуле S = \int\limits_a^b {f(x)dx}:

S = \int\limits_0^2 {x^2 dx} = \left. {\frac{1}{3}x^3 } \right|_{\,0}^{\,2} = \frac{1}{3}(8 - 0) = \frac{8}{3}.

Правильный ответ: 2.

A13. Решите уравнение 2\cos ^2 x - 3\sin x = 0.

1. \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} 2. ( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}
3. \pm \frac{\pi }{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} 4. ( - 1)^k \frac{\pi }{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, приведем уравнение к квадратному относительно \sin x и решим его:

2\cos ^2 x - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow 2(1 - \sin ^2 x) - 3\sin x = 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 2\sin ^2 x + 3\sin x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x =  - 2\, - \,решений\,нет, \\\sin x = \frac{1}{2} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow
\Leftrightarrow x = ( - 1)^k \frac{\pi }{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.

Правильный ответ: 2.



Часть B

B1. Решите уравнение \sqrt {2x + 7} - 2 = x.
Решение. Используя теорему \sqrt {f(x)} = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^2 (x), \\ g(x) \ge 0, \\\end{array} \right. получим:

\sqrt {2x + 7} - 2 = x \Leftrightarrow \sqrt {2x + 7} = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge 0, \\ 2x + 7 = (x + 2)^2 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge  - 2, \\ x^2  + 2x - 3 = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge  - 2, \\\left[ \begin{array}{l} x =  - 3, \\ x = 1 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.

Ответ: \{ 1\}.

B2. Найдите значение выражения \frac{{\sin ^2 27^\circ  - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ  \cdot \cos 18^\circ }}.
Решение. (I способ). Воспользуемся формулами приведения и формулами косинуса и синуса двойного аргумента: \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha и \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha. Имеем

\frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\sin ^2 (90^\circ - 63^\circ ) - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{2(\cos ^2 63^\circ  - \sin ^2 63^\circ )}}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} =
= \frac{{2\cos (2 \cdot 63^\circ )}}{{\sin 36^\circ }} = \frac{{2\cos 126^\circ }}{{\sin 36^\circ }} = \frac{{2\cos (90^\circ  + 36^\circ )}}{{\sin 36^\circ }} = \frac{{ - 2\sin 36^\circ }}{{\sin 36^\circ }} = - 2.

Решение. (II способ). Используем формулу понижения степени \sin ^2 \alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}. Имеем

\frac{{\sin ^2 27^\circ - \sin ^2 63^\circ }}{{\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{\frac{{1 - \cos 54^\circ }}{2} - \frac{{1 - \cos 126^\circ }}{2}}}{{\sin 18^\circ  \cdot \cos 18^\circ }} = \frac{{ - \cos 54^\circ + \cos 126^\circ }}{{2\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ }} =
 = \frac{{ - \cos (90^\circ  - 36^\circ ) + \cos (90^\circ  + 36^\circ )}}{{\sin 36^\circ }} = \frac{{ - \sin 36^\circ  - \sin 36^\circ }}{{\sin 36^\circ }} = - 2.

Ответ: -2.

B3. Найдите точку максимума функции f(x) = x^2 \cdot e^x.
Решение. Найдем производную данной функции:

f'(x) = (x^2 )' \cdot e^x + (e^x )' \cdot x^2 = 2x \cdot e^x + e^x \cdot x^2 =
= e^x (2x + x^2 ).

Найдем нули производной:

f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x (2x + x^2 ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2, \\ x = 0. \\\end{array} \right.

Поведение функции изображено на рисунке. Максимум функции достигается в точке x = - 2.

Ответ: точка максимума: -2.

B4. Найдите меньший корень уравнения 3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x = 0.
Решение. Данное уравнение является однородным относительно выражений 3^x и 2^x. Так как 4x не равно нулю ни при каких значениях x, разделив левую и правую часть уравнения на 4x, получаем:

3 \cdot 9^x - 5 \cdot 6^x + 2 \cdot 4^x = 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \left( {\frac{9}{4}} \right)^x - 5 \cdot \left( {\frac{6}{4}} \right)^x + 2 = 0 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 3 \cdot \left( {\frac{3}{2}} \right)^{2x} - 5 \cdot \left( {\frac{3}{2}} \right)^x + 2 = 0. (*)

Пусть \left( {\frac{3}{2}} \right)^x = t. Тогда уравнение (*) принимает вид 3t^2 - 5t + 2 = 0. Далее имеем:

3t^2 - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \frac{2}{3}, \\ t = 1. \\\end{array} \right.

Таким образом,

\left[ \begin{array}{l} \left( {\frac{3}{2}} \right)^x = \frac{2}{3}, \\\left( {\frac{3}{2}} \right)^x = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( {\frac{3}{2}} \right)^x = \left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 1}, \\\left( {\frac{3}{2}} \right)^x = \left( {\frac{3}{2}} \right)^0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1, \\ x = 0. \\\end{array} \right.

Итак, меньший корень уравнения равен -1.
Ответ: -1.

B5. Катер прошел по течению реки расстояние от пункта A до пункта B за 3 ч, а от B до A — за 5 ч. За сколько часов проплывет от A до B плот?
Решение. Пусть S — расстояние между A и B, v — скорость катера, u — скорость течения реки (S, v, u > 0, v > u). При движении из A в B скорость катера была v + u = \frac{S}{3}, при движении из B в A скорость была v - u = \frac{S}{5}. Решим систему:

\left\{ \begin{array}{l} v + u = \frac{S}{3}, \\ v - u = \frac{S}{5} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u = \frac{S}{3} - \frac{S}{5}, \\ v = \frac{S}{5} + u \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u = \frac{S}{{15}}, \\ v = \frac{{4S}}{{15}}. \\\end{array} \right.

Таким образом, скорость течения реки равна \frac{S}{{15}}, и плот, движущийся со скоростью реки, пройдет пусть от A до B за 15 часов.
Ответ: 15 часов.

B6. Найдите число целых решений неравенства (|x + 2| - 3)(\sin x - \pi ) \ge 0.
Решение. Поскольку второй множитель, в силу ограничения  - 1 \le \sin x \le 1, отрицателен при всех значениях x, имеем неравенство:

|x + 2| - 3 \le 0 \Leftrightarrow |x + 2| \le 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 2 \ge - 3 \\ x + 2 \le 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ge - 5 \\ x \le 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 1.

Таким образом, неравенство имеет 5 отрицательных целых решений, одно положительное и решение 0. Всего их 7.
Ответ: 7 штук.

B7. Найдите наибольшее целое значение параметра c, при котором решение системы уравнений \left\{ \begin{array}{l} x + 7y = c, \\ 2x - y = 5 \\\end{array} \right. удовлетворяет неравенству x > y - 2.
Решение. Решим систему

\left\{ \begin{array}{l} x + 7y = c, \\ 2x - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ 2(c - 7y) - y = 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x = c - 7y, \\ 15y = 2c - 5 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7y, \\ y = \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = c - 7\left( {\frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3}} \right), \\ y = \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3} \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{{15}}c + \frac{7}{3}, \\ y = \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3}. \\\end{array} \right.

Решим неравенство x > y - 2:

\frac{1}{{15}}c + \frac{7}{3} > \frac{2}{{15}}c - \frac{1}{3} - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{15}}c - \frac{2}{{15}}c > - \frac{1}{3} - \frac{7}{3} - 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{{15}}c > - \frac{{14}}{3} \Leftrightarrow c < 70.

Наибольшим целым значением c, удовлетворяющим неравенству c < 70, является число 69.
Ответ: 69.

B8. Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, двугранные углы при основании равны 30^\circ. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение. Пусть SABC — заданная пирамида (см. рисунок), SO — ее высота, \angle SMO — линейный угол двугранного угла при основании. Поскольку SABC — правильная пирамида, основание O ее высоты есть центр окружности, вписанной в треугольник ABC, следовательно, OM — радиус этой окружности, откуда BC = 2\sqrt 3 OM. Из прямоугольного треугольника SOM находим OM = SO{\mathop{\rm ctg}\nolimits} 30^\circ = 2\sqrt 3, SM = 4. Тогда BC = 12.
Окончательно получаем

S_{б. п.} = 0,5P_{ABC} \cdot SM = 0,5 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 4 = 72.

Ответ: 72.

B9. В конус с радиусом основания 4 и высотой 4\sqrt 3 вписана треугольная призма, у которой все ребра равны. Найдите объем призмы.
Решение. Пусть ребро призмы равно a, пусть окружность, описанная около верхнего основания — правильного треугольника — имеет радиус r. Тогда ребро призмы есть a = \sqrt 3 r.
Отношение площади сечения, параллельного основанию конуса, к площади основания равно отношению квадратов их расстояний до вершины конуса, откуда последовательно получаем

{\textstyle{{\pi r^2 } \over {16\pi }}} = {\textstyle{{(4\sqrt 3 - r\sqrt 3 )^2 } \over {(4\sqrt 3 )^2 }}}, {\textstyle{r \over 4}} = {\textstyle{{4\sqrt 3 - r\sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }}}, {\textstyle{r \over 4}} = {\textstyle{{4 - r} \over 4}}, r = 4 - r, r = 2.

Тогда a = 2\sqrt 3, откуда объем призмы равен:

V = S \cdot H = \frac{{a^2 \sqrt 3 }}{4} \cdot a = \frac{{a^3 \sqrt 3 }}{4} = \frac{{(2\sqrt 3 )^3 \sqrt 3 }}{4} = 18.

Ответ: 18.



Часть C

C1. Для каждого допустимого значения параметра \alpha решите неравенство

\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3).

Решение.
1. Если 0 < {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha < 1, то \pi k < \alpha < \frac{\pi }{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}, и мы имеем:

\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 13 < (x + 3)^2 , \\ x > - 3, \\ 3x + 13 > 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 > 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 4) > 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1.

2. Если {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha > 1, то \frac{\pi }{4} + \pi k < \alpha  < \frac{\pi }{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} и тогда:

\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > 2\log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (3x + 13) > \log _{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha } (x + 3)^2 , \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3x + 13 > (x + 3)^2 , \\ x > - 3, \\ 3x + 13 > 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 4 < 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x - 1)(x + 4) < 0, \\ x > - 3 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 < x < 1.

Ответ: x > 1 при \pi k < \alpha < \frac{\pi }{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; - 3 < x < 1 при \frac{\pi }{4} + \pi k < \alpha < \frac{\pi }{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}.

C2. Решите уравнение \cos ^2 (x\sin x) = 1 + \log _5^{\,2} \sqrt {x^2 + x + 1}.
Решение. Левая часть уравнения не больше, а правая — не меньше единицы, следовательно, данное уравнение равносильно системам:

\left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ 1 + \log _5^{\,2} (x^2 + x + 1) = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\\log _5 (x^2 + x + 1) = 0 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\ x^2 + x + 1 = 1 \\\end{array} \right. \Leftrightarrow
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos ^2 (x \cdot \sin x) = 1, \\\left[ \begin{array}{l} x = - 1, \\ x = 0 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = - 1, \\\cos ^2 ( - 1 \cdot \sin ( - 1)) = 1 - не\, верно, \\\end{array} \right. \\\left\{ \begin{array}{l} x = 0, \\\cos ^2 0 = 1 - верно \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0.

Ответ: \{ 0\}.

C3. Найдите целые корни уравнения (6 - x)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = 24x^2.
Решение.

(6 - x)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = 24x^2 \Leftrightarrow (x - 6)(x - 2)(x + 3)(x + 9) = - 24x^2 \Leftrightarrow
\Leftrightarrow (x^2 - 3x - 18)(x^2 + 7x - 18) = - 24x^2 \mathop \Leftrightarrow \limits_{x = 0 \, - \, не \atop 
 \scriptstyle решение}
\mathop \Leftrightarrow \limits_{x = 0 \, - \, не \atop 
 \scriptstyle решение} \left( {x - \frac{{18}}{x} - 3} \right)\left( {x - \frac{{18}}{x} + 7} \right) = - 24. (*)

Пусть x - \frac{{18}}{x} = t. Тогда уравнение (*) принимает вид (t - 3)(t + 7) = - 24, откуда получаем

(t - 3)(t + 7) = - 24 \Leftrightarrow t^2 + 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = - 3, \\ t = - 1. \\\end{array} \right.

Таким образом,

\left\{ \begin{array}{l} x \in \mathbb{Z}, \\\left[ \begin{array}{l} x - \frac{{18}}{x} = - 3, \\ x - \frac{{18}}{x} = - 1 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l} x \in \mathbb{Z}, \\\left[ \begin{array}{l} x^2 + 3x - 18 = 0, \\ x^2 + x - 18 = 0 \\\end{array} \right. \\\end{array} \right. \Leftrightarrow \;\left[ \begin{array}{l} x = - 6, \\ x = 3. \\\end{array} \right.

Ответ: -6; 3.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке