На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Комбинаторика → Теория вероятностей


Теория вероятностей

Вероятность — числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных условиях.



Классическое определение вероятности


Вероятностью события A называется отношение числа исходов m, благоприятствующих его наступлению к числу всех исходов n (несовместных, единственно возможных и равновозможных): P(A) = \frac{m}{n}.

Будем различать достоверные и невозможные события. По определению, их вероятности соответственно равны 1 и 0.


Геометрическое определение вероятности


Если число исходов некоторого опыта бесконечно, то классическое определение вероятности не может служить характеристикой степени возможности наступления того или иного события. В этом случае пользуются геометрическим подходом к определению вероятности. При этом вероятность события A есть отношение меры A (длины, площади, объема) к мере U пространства элементарных событий.


Теоремы о вероятностяхсобытий


Произведением событий A и B называется событие C = A \cdot B, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие A, и событие B, т. е. оба события произошли.

Два события A и B называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события A и B называются зависимыми.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий A и B равна произведению этих вероятностей: P(AB) = P(A) \cdot P(B).


Противоположные события


Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Если событие A может произойти с вероятностью p и опыт повторяют n раз, то вероятность, что оно наступит хотя бы один раз, есть: 1 - q^n , где q = 1 - p.


Сложение вероятностей


Суммой событий A и B называется событие C = A + B, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий A или B, т. е. в наступлении события A, или события B, или обоих этих событий вместе, если они совместны.

Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).


Условная вероятность


Пусть A и B — зависимые события. Условной вероятностью P_A (B) события B называется вероятность события B, найденная в предположении, что событие A уже наступило.

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденного в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB) = P(A)P_A (B).

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения:P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).


Формула Бернулли


Для многократно повторяемых опытов справедлива формула Бернулли: P_{m,\,\,n}  = C_n^{\,m}  \cdot p^m  \cdot q^{n - m} , где m число удачных исходов среди проводимых n опытов, p — вероятность наступления благоприятного исхода в единичном опыте, q = 1 - p.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке