Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Тригонометрия → Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Пусть $|a| \le 1$ , $b \in \mathbb{R}$ . Тогда:

$\sin x = a \Leftrightarrow x = ( - 1)^n \arcsin a + \pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\cos x = a \Leftrightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

${\mathop{\rm tg}\nolimits} x = b \Leftrightarrow {\mathop{\rm arctg}\nolimits} b + \pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

${\mathop{\rm ctg}\nolimits} x = b \Leftrightarrow x = {\mathop{\rm arcctg}\nolimits} b + \pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ .

$\sin x = \sin y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + 2\pi n, \\ x = \pi - y + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right.$ ;

$\cos x = \cos y \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = y + 2\pi n, \\ x = - y + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right.$ ;

${\mathop{\rm tg}\nolimits} x = {\mathop{\rm tg}\nolimits} y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y + \pi n, \\ y \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,k,n \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right.$ ;

${\mathop{\rm ctg}\nolimits} x = {\mathop{\rm ctg}\nolimits} y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = y + \pi n, \\ y \ne \pi k,\,\,\,k,n \in \mathbb{Z}\\ \end{array} \right.$ ;

Частные случаи:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = \pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + \pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\cos x = 1 \Leftrightarrow x = 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ ;

$\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = \pi + 2\pi n,\,\,\,n \in \mathbb{Z}$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке