На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Тригонометрия → Основные формулы


Основные формулы

Зависимость между тригонометрическими функциями одного аргумента

  • \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1;
  • {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha = 1 (\sin \alpha \ne 0, \cos \alpha \ne 0);
  • 1 + {\mathop{\rm tg}\nolimits} ^2 \alpha = \frac{1}{{\cos ^2 \alpha }} (\cos \alpha \ne 0);
  • 1 + {\mathop{\rm ctg}\nolimits} ^2 \alpha = \frac{1}{{\sin ^2 \alpha }} (\sin \alpha \ne 0).

Формулы сложения

  • \cos (\alpha \pm \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta \mp \sin \alpha \cdot \sin \beta;
  • \sin (\alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta \pm \cos \alpha \cdot \sin \beta;
  • {\mathop{\rm tg}\nolimits} (\alpha \pm \beta ) = \frac{{{\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }}{{1 \mp {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta }} (\cos \alpha \ne 0, \cos \beta \ne 0, \cos (\alpha \pm \beta ) \ne 0);
  • {\mathop{\rm ctg}\nolimits} (\alpha \pm \beta ) = \frac{{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha \cdot {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta \mp 1}}{{{\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta \pm {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha }} (\sin \alpha \ne 0, \sin \beta \ne 0, \sin (\alpha \pm \beta ) \ne 0).

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

  • \sin \alpha \pm \sin \beta = 2\sin \frac{{\alpha \pm \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha \mp \beta }}{2};
  • \cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \cos \frac{{\alpha - \beta }}{2};
  • \cos \alpha - \cos \beta =  - 2\sin \frac{{\alpha + \beta }}{2} \cdot \sin \frac{{\alpha - \beta }}{2};
  • {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta  = \frac{{\sin (\alpha \pm \beta )}}{{\cos \alpha \cdot \cos \beta }};
  • {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha \pm {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta =  \pm \frac{{\sin (\alpha \pm \beta )}}{{\sin \alpha \cdot \sin \beta }};
  • a\sin \alpha + b\cos \alpha  = \sqrt {a^2 + b^2 } \cdot \sin (\alpha + \phi ), a^2 + b^2 \ne 0, \sin \phi = \frac{b}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}, \cos \phi = \frac{a}{{\sqrt {a^2 + b^2 } }}.

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

  • \cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ));
  • \sin \alpha \cdot \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos (\alpha - \beta ) - \cos (\alpha + \beta ));
  • \sin \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin (\alpha + \beta ) + \sin (\alpha - \beta )).


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке