На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Начала математического анализа → Производная → Производная и ее свойства


Производная и ее свойства

Определение: Пусть функция f(x) определена в точке x и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу x приращение \Delta x, такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции \Delta f и составим отношение. Если существует предел этого отношения при \Delta x стремящемся к нулю, то указанный предел называют производной функции f(x) в точке x и обозначают f'(x). Иначе говоря:

y' = f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x\; \to \;0}
\frac{{\Delta f}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x\; \to
\;0} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}(\Delta
f— приращение функции, \Delta x— приращение аргумента).

Если в каждой точке из множества I у функции f(x) существует производная, то такая функция называется дифференцируемой на множестве I.

Геометрический смысл производной: f'(x_0 )— угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке (x_0 \;;\;f(x_0 )) уравнение касательной в этой точке y = f(x_0 ) + f'(x_0 )(x - x_0 ).

Правила дифференцирования

Пусть функции f и g определены и дифференцируемы на некотором множестве I, c_1
 и c_2  — любые действительные числа. Тогда на множестве I справедливы соотношения:

  • (c_1 f + c_2 g)' = c_1 f' + c_2 g',
  • (f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g',
  • \left( {\frac{f}{g}} \right)^\prime   = \frac{{f' \cdot g - f
\cdot g'}}{{g^2 }}, g \ne 0,
  • 
[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Основные формулы дифференцирования.
  • 
C' = 0\;(C = const)
  • 
(kx + b)' = k\;;\;x' = 1
  • 
(x^a )' = ax^{a - 1}
  • 
(\sqrt x )' = \frac{1}{{2\sqrt x }}
  • 
(e^x )' = e^x
  • 
(a^x )' = a^x  \cdot \ln a
  • 
(\ln x)' = \frac{1}{x}
  • 
(\log _a x)' = \frac{1}{{x\ln a}}
  • 
(\sin x)' = \cos x
  • 
(\cos x)' =  - \sin x
  • 
({\mathop{\rm tg}\nolimits} x)' = \frac{1}{{\cos ^2 x}}
  • 
({\mathop{\rm ctg}\nolimits} x)' =  - \frac{1}{{\sin ^2 x}}
  • 
(\arcsin x)' = ( - \arccos x)' = \frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }}{\kern
1pt} \;(|x| < 1)
  • 
({\mathop{\rm arctg}\nolimits} x)' = ( - {\mathop{\rm
arcctg}\nolimits} x)' = \frac{1}{{1 + x^2 }}


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке