Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Уравнения и неравенства → Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения

Иррациональными называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Иррациональное уравнение, как правило, сводится к равносильной системе, содержащей уравнения и неравенства.

Равносильность уравнений, содержащих неизвестное под знаком корня

1. Уравнение

$\sqrt {f(x)} = g(x)$

равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g^2 (x), \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$

2. Уравнение

$\sqrt {f(x)} = \sqrt {g(x)}$

равносильно любой из систем:

$\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ f(x) \ge 0 \\ \end{array} \right.$ или $\left\{ \begin{array}{l} f(x) = g(x), \\ g(x) \ge 0. \\ \end{array} \right.$

Примечание. Если функция y = f(x) возрастает на множестве , а функция y = g(x) убывает на множестве , то уравнение f(x) = g(x) имеет на не более одного корня.

Иррациональные уравнения могут быть также решены путем возведения обеих частей уравнения в натуральную степень. При возведении уравнения в степень могут появится посторонние корни. Поэтому необходимой частью данного метода решения иррационального уравнения является проверка.

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке