Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Уравнения и неравенства → Равносильность уравнений

Равносильность уравнений

Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными).

Обозначение:

$f(x) = g(x) \Leftrightarrow h(x) = \phi (x)$ .

Если все решения первого уравнения являются решениями второго уравнения (множество решений первого уравнения является подмножеством решений второго уравнения), то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Обозначение:

$f(x) = g(x) \Rightarrow h(x) = \phi (x)$ .

Таким образом, два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Теоремы равносильности

Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 4. Уравнение

$f(x) \cdot g(x) = 0$

равносильно совокупности систем

$\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 0, \\ x \in D(g), \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} g(x) = 0, \\ x \in D(f). \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке