Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Элементарные функции → Многочлены от одной переменной

Многочлены от одной переменной

Выражение вида $P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0$ , где $a_n ,\,a_{n - 1} ,\, \ldots ,\,a_0$ — некоторые числа и $a_n \ne 0$ , называется многочленом степени от .

Два многочлена называются тождественно равными, если их числовые значения совпадают при всех значениях . Многочлены P(x) и Q(x) тождественно равны тогда и только тогда, когда они совпадают, т.е. коэффициенты при одинаковых степенях этих многочленов одинаковы.

При делении многочлена P(x) на многочлен S(x) (например «уголком») получаем многочлен Q(x) (неполное частное) и остаток — многочлен R(x) (в случае, когда остаток R(x) равен нулю, многочлен Q(x) называется частным). Если P(x) — делимое, S(x) — делитель, то многочлен P(x) представим в виде $P(x) = S(x) \cdot Q(x) + R(x)$ . При этом сумма степеней многочленов Q(x) и S(x) равна степени многочлена P(x) , а степень остатка R(x) меньше степени делителя S(x) .

Схема Горнера

(схема деления многочлена P(x)

на двучлен $x-\alpha$ )

Пусть — остаток от деления многочлена $P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \ldots + a_1 x + a_0$ на двучлен $x-\alpha$ и $P(x) = b_{n - 1} x^{n - 1} + b_{n - 2} x^{n - 2} + \ldots + b_1 x + b_0$ — частное.

Тогда, имеет место следующее правило для определения коэффициентов b_k и остатка :

$b_{n - 1} = a_n$ ; $b_{k - 1} = \alpha b_k + a_k$ , (

); $r = \alpha b_0 + a_0$ .

Это правило удобно переписать в виде следующей таблицы (схемы Горнера):

			$\ldots$
$\alpha$	$b_{n-1}=a_n$	$b_{n-2}=\alpha b_{n-1}+a_{n-1}$	$\ldots$	$b_0=\alpha b_1+a_1$	$R=\alpha b_0+a_0$

Теорема Безу

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен $x - \alpha$ равен значению этого многочлена при $x = \alpha$ .

Следствие 1:

$p(\alpha \,) = 0 \Leftrightarrow r = 0$ .

Таким образом, число $\alpha$ является корнем многочлена P(x) тогда и только тогда, когда многочлен P(x) делится на двучлен $x - \alpha$ без остатка.

Если многочлен P(x) делится без остатка на $(x - \alpha \,)^k$ , но не делится без остатка на $(x - \alpha \,)^{k + 1}$ , то число $\alpha$ называется корнем кратности для многочлена P(x) .

Следствие 1. Многочлен P(x) степени имеет не более корней.

Следствие 2. Если многочлен P(x) степени имеет корней (среди которых могут быть равные), то он представим в виде:

$P(x) = a_n (x - \alpha _1 )(x - \alpha _2 ) \ldots (x - \alpha _n )$ .

Теорема Виета

Теорема Виета. Если многочлен P(x) степени имеет различных корней $\alpha _1 ,\,\alpha _2 ,\, \ldots ,\,a_n$ , то имеют место следующие соотношения:

$\left\{ \begin{array}{l} \alpha \,_1 \, + \alpha \,_2 \, + \ldots + \alpha \,_n \, = - \frac{{a_{n - 1} }}{{a_n }}, \\ \alpha \,_1 \alpha \,_2 \, + \alpha \,_1 \alpha \,_3 \, + \ldots + \alpha \,_{n - 1} \alpha \,_n \, = \frac{{a_{n - 2} }}{{a_n }}, \\ \ldots , \\ \alpha \,_1 \cdot \alpha \,_2 \cdot \, \ldots \cdot \alpha \,_n \, = ( - 1)^n \cdot \frac{{a_0 }}{{a_n }}. \\ \end{array} \right.$

Замечание. Формулы Виета сохраняют силу и при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень учитывается столько раз, какова его кратность.

Оставить комментарий

Сообщить об ошибке