На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Элементарные функции → Многочлены. Основные понятия и формулы


Многочлены. Основные понятия и формулы

Многочленом называют алгебраическую сумму одночленов, например: 3x - 2xyz, 6x + 4y + 1. Привести многочлен к стандартному виду — означает привести к стандартному виду все его члены, а затем привести подобные члены.

При сложении и вычитании многочленов используются стандартные законы сложения и вычитания выражений.

Чтобы умножить многочлен на одночлен, надо умножить на этот одночлен все члены многочлена и полученное произведение сложить. После этого следует привести полученный многочлен к стандартному виду.

Формулы сокращенного умножения

  1. (a \pm b)^2  = a^2  \pm 2ab + b^2.
  2. (a \pm b)^3  = a^3  \pm 3a^2 b + 3ab^2  \pm b^3 или (a \pm b)^3  = a^3  \pm b^3  \pm 3ab(a \pm b).
  3. a^2  - b^2  = (a - b)(a + b).
  4. a^3  + b^3  = (a + b)(a^2  - ab + b^2 ).
  5. a^3  - b^3  = (a - b)(a^2  + ab + b^2 ).
  6. (a_1  + a_2  +  \ldots  + a_n )^2  = a_1^2  + a_2^2  +  \ldots  + a_n^2  + 2a_1 a_2  + 2a_1 a_3  +  \ldots  + 2a_{n - 1} a_n.
  7. a^n  - b^n  = (a - b)(a^{n - 1}  + a^{n - 2} b +  \ldots  + ab^{n - 2}  + b^{n - 1} ).

Для возведения двучлена в любую натуральную степень служит следующая формула, называемая формулой бинома Ньютона:

(a + b)^n  = C_n^0 a^n  + C_n^1 a^{n - 1} b + C_n^2 a^{n - 2} b^2  +  \ldots  + C_n^{n - 2} a^2 b^{n - 2}  + C_n^{n - 1} ab^{n - 1}  + C_n^n b^n,

где C_n^k — элемент, стоящий на k-м месте в n-ной строчке треугольника Паскаля (см. ниже):

n = 0 1 (a + b)^0  = 1
n = 1 1\,\,\,\,\,1 (a + b)^1  = 1a + 1b
n = 2 1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,1 (a + b)^2  = 1a^2  + 2b + 1b^2
n = 3 1\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,1 (a + b)^3  = 1a^3  + 3a^2 b + 3ab^2  + 1b^3
n = 4 1\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,6\,\,\,\,\,4\,\,\,\,\,1 (a + b)^4  = 1a^4  + 4a^3 b + 6a^2 b^2  + 4ab^3  + 1b^4

Числа, стоящие в каждой последующей строке треугольника Паскаля, получаются сложением соответствующих чисел предыдущей строки и являются коэффициентами разложения при данном n. При этом показатели степени числа a убывают от n до 0, а показатели степени числа b возрастают от 0 до n.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке