На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числа → Представление комплексных чисел


Представление комплексных чисел

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + iy, x, y \in \mathbb{R}, называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел может быть вычислена непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, с учетом тождества i^{\;2}  =  - 1.

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = |z| и аргумент \phi (x = r\cos \phi ,\;y = r\sin \phi ), то комплексное число z можно записать в тригонометрической форме:

z = r(\cos \phi + i\sin \phi).

Также может быть полезна следующая форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера:

z = re^{i\phi } = r(\cos \phi + i\sin \phi),

где e^{i\phi } — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Геометрическое представление

Если на плоскости по оси абсцисс расположить действительную часть, а по оси ординат — мнимую, то комплексному числу будет соответствовать точка с декартовыми координатами x и y (или ее радиус-вектор, что то же самое), а модуль и аргумент будут полярными координатами этой точки.

В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда, в частности, получается Формула Муавра.

Формула Муавра

Формула, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме:

z^n = [r(\cos \phi + i\sin \phi)]^n = r^n (\cos n\phi + i\sin n\phi),

где r — модуль, а \phi — аргумент комплексного числа.


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке