На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числа → Комплексные числа


Комплексные числа

Комплексное число z — это пара вещественных чисел (x;\,y) со введенными на них следующим образом операциями сложения и умножения:

  • (x;\;y) + (x';\;y') = (x + x';\;y + y').
  • (x;\;y) \cdot (x';\;y') = (xx' - yy';\;xy' + yx').

Число i = (0;\,1) называется мнимой единицей.

Другая форма записи комплексного числа — x + iy (что эквивалентно паре (x;\,y)).

Свойства операций над комплексными числами

  • Сложение (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
  • Вычитание (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.
  • Умножение (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i.
  • Деление \frac{{(a + bi)}}{{(c + di)}} = \left( {\frac{{ac +
bd}}{{c^2  + d^2 }}} \right) + \left( {\frac{{bc - ad}}{{c^2  + d^2 }}}
\right)i.

Комплексные числа z = x + yi и \overline z  = x - iy называются комплексно сопряженными. Для любых комплексных чисел верны равенства:

\overline {z \mp z'}  = \bar z \mp \overline {z'}; \overline {z \cdot z'}  = \bar z \cdot \overline {z'}.

Основные определения и обозначения

Комплексная переменная обычно обозначается z. Пусть x и y суть вещественные числа, такие, что z = x + yi. Тогда:

  • Числа x и y называются соответственно вещественной (Real) и мнимой (Imaginary) частями z. Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым.
  • Число r = |z| = \sqrt {x^2 + y^2 } = \sqrt {z\bar z} называется модулем числа z.
  • Угол \phi такой, что \cos \phi  =
\frac{x}{{|z|}}и \sin \phi  = \frac{y}{{|z|}}, называется аргументом z.

Комплексное число \overline z  = x - iy называется сопряженным (или комплексно сопряженным) к числу z.


Оставить комментарий
Сообщить об ошибке