На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Алгебра → Числа → Целые числа


Целые числа

Целые числа представляют собой множество \mathbb{Z} = \{  \ldots
;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\, \ldots \} , состоящее из натуральных чисел, чисел, вида  - n (n \in \mathbb{N}) и числа нуль.

Положительными целыми числами называют натуральные числа, отрицательными — все остальные, кроме нуля.

Свойства операций над целыми числами

  • a + b = b + a (коммутативность сложения).
  • a \cdot b = b \cdot a (коммутативность умножения).
  • (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).
  • (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) (ассоциативность умножения).
  • a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Свойства целых чисел

  • a + 0 = a (существование нейтрального элемента).
  • a \cdot 1 = a (существование нейтрального элемента).
  • a + ( - a) = 0(существование противоположного элемента).

Легко видеть, что операция деления может вывести нас за пределы множества. Например, 3 и 4 — целые числа, но их отношение уже не является целым числом.

На множестве целых чисел можно определить так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, b \ne 0, существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + rи 0 \le r < \;|b|, где |b| — абсолютная величина числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. Если остаток от деления a на b равен 0, то говорят, что число a делится на число b.

Если a и b — целые числа, но a не является кратным b, тогда говорят, что a делится на b с остатком:

a = bq + rи r < \;b, где a — делимое, b — делитель, q— частное.



Оставить комментарий
Сообщить об ошибке