На главую страницу

Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Векторы → Скалярное произведение векторов


Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Иными словами, скалярное произведение векторов — это число.

Если через \varphi обозначить угол между векторами \overrightarrow a и \overrightarrow b, а через \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b — их скалярное произведение, то \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = |\overrightarrow
a| \cdot |\overrightarrow b|\cos \varphi .

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения: \overrightarrow
a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\;(\overrightarrow a \ne
0,\;\overrightarrow b \ne 0).

Свойства скалярного произведения:

  • \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a (переместительный закон).
  • (\lambda  \cdot \overrightarrow a) \cdot \overrightarrow b = \lambda  \cdot \overrightarrow a
\cdot \overrightarrow b (сочетательный закон).
  • \overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b + \overrightarrow c) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a
\cdot \overrightarrow c (распределительный закон).

    Скалярное произведение выражается через координаты сомножителей по формуле: \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = a_1 b_{\;1}  + a_2 b_{\;2} .

    Отсюда, в частности, следует:

  • (\overrightarrow a\overrightarrow a) = \overrightarrow a^2  = |\overrightarrow a|^2  = a_1^2  + a_2^2 .
  • |\overrightarrow a| = \sqrt {a_1^2  + a_2^2 } .

    Необходимым и достаточным условием перпендикулярности ненулевых векторов \overrightarrow a\;\{ a_1 ,\;a_2 \} и \overrightarrow b\;\{ b_{\;1}
,\;b_2 \} является равенство: a_1 b_1  + a_2 b_2  = 0.

    Угол между векторами \overrightarrow a \left\{ {a_1 ,a_2 }
\right\} и \overrightarrow b \left\{ {b_1 ,b_2 }
\right\} определяется по формуле:

    \cos \varphi  = \frac{{a_1 b_1  + a_2
b_2 }}{{\sqrt {a_1^2  + a_2^2 }  \cdot \sqrt {b_1^2  + b_2^2 }}}.

    Поскольку косинус острого угла положителен, а косинус тупого угла — отрицателен, то, если скалярное произведение положительно, векторы образуют острый угол, а если отрицательно — тупой.



    Оставить комментарий
    Сообщить об ошибке