Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Треугольники и их элементы → Прямоугольный треугольник и его свойства

Прямоугольный треугольник и его свойства

Теорема Пифагора: c^2 = a^2 + b^2 .

Решение прямоугольного треугольника:

$c = \frac{b}{{\sin \beta }} = \frac{a}{{\sin \alpha }} = \frac{b}{{\cos \alpha }} = \frac{a}{{\cos \beta }} = \sqrt {a^2 + b^2 }$ ;

$b = c \cdot \cos \alpha = c \cdot \sin \beta = a \cdot {\rm{tg}}\beta = a \cdot {\rm{ctg}}\alpha$ ;

$a = c \cdot \sin \alpha = c \cdot \cos \beta = b \cdot {\rm{tg}}\alpha = b \cdot {\rm{ctg}}\beta$ .

Теоремы:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки: $c_a = \frac{{a^2 }}{c},$ $c_b = \frac{{b^2}}{c}$ . Эти отрезки являются проекциями катетов на гипотенузу.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу: $h = \sqrt {c_a \cdot c_b }$ .

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных и подобных исходному треугольнику. Для любых сходственных элементов (медиана, биссектриса, радиусы вписанной и описанной окружностей и т. п.) исходного и полученных треугольников ABC, ABD, ADC

справедливо соотношение $l_{ABC}^2 = l_{ADC}^2 + l_{ADB}^2$ .

Длина высоты, проведенной из вершины прямого угла, равна отношению произведения длин катетов и гипотенузы: $h = \frac{{ab}}{c}$ .

Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Ее основание является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности. Радиус описанной окружности равен этой медиане и равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$ .

Радиус вписанной окружности равен половине суммы катетов, уменьшенной на гипотенузы: $r = \frac{{a + b - c}}{2}$ .

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2}ab$ или вычисляется по любой из следующих формул: $S = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \sin \beta$ , $S = \frac{1}{2}c^2 \sin \alpha \cos \alpha$ , $S = \frac{1}{2}c^2 \sin \beta \cos \beta$ , $S = \frac{1}{2}a^2 {\mathop{\rm tg}\nolimits} \beta$ , $S = \frac{1}{2}a^2 {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \alpha$ , $S = \frac{1}{2}b^2 {\mathop{\rm tg}\nolimits} \alpha$ , $S = \frac{1}{2}b^2 {\mathop{\rm ctg}\nolimits} \beta$ .

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке