Физ-мат класс

Математика → Теория → Справочник → Геометрия → Планиметрия → Окружность и её элементы

Окружность и ее элементы

Окружность — множество всех точек плоскости, удаленных на заданное расстояние (равное радиусу) от заданной точки этой же плоскости (центра окружности).

Радиусы — отрезки, соединяющие точки окружности с центром. Все радиусы данной окружности равны.

Хорда — отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен этой хорде.

Центральный угол — угол, образованный двумя радиусами. Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.

Касательная — прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярно ее радиусу. Касательная имеет с окружностью только одну общую точку.

Длина окружности: $L = 2\pi R = \pi D$ , — радиус окружности, — диаметр.

Длина дуги окружности: $l = Ra = \frac{{\pi R\alpha }}{{180^\circ }}$ , — радианная мера дуги, $\alpha$ — градусная мера.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью.

Площадь круга: $S = \pi R^2 = \frac{{\pi D^2 }}{4}$ .

Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности.

Площадь сектора: $S = \frac{{Rl}}{2} = \frac{{R^2 \alpha}}{2} = \frac{{\pi R^2 \alpha }}{{360^\circ }}$ .

Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой.

Площадь сегмента: $S = \frac{{R^2 (a - \sin \alpha)}}{2}$ (или $S = \frac{{R^2 (a + \sin \alpha )}}{2}$ , если центр круга лежит внутри сегмента).

Свойства вписанных углов

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается: $\angle ABC = \frac{1}{2} \cup CDA$ .

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.

Равные дуги окружности стягиваются равными хордами.

Углы, связанные с окружностью

Теорема (угол между пересекающимися хордами). Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг: $\alpha = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox {$\scriptscriptstyle\smile$}} \over B} + \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over A} }}{2}$ .

Теорема (угол между секущими). Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: $\alpha = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over A} - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over B} }}{2}$ .

Теорема (угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания). Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой: $\alpha = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over A} }}{2}$ .

Теорема (угол между касательной и секущей). Угол между касательной и секущей равен полуразности высекаемых ими дуг: $\alpha = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over A} - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over B} }}{2}$ .

Теорема (угол между касательными). Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг: $\alpha = \frac{{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over A} - \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over B} }}{2}$ .

Отрезки, связанные с окружностью

Теорема. Отрезки касательных к окружностям, проведенным из одной точки, равны: AB = AC , центр окружности лежит на биссектрисе угла BAC .

Теорема. Произведение секущей на ее внешнюю часть есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов расстояния от точки пересечения секущих до центра окружности и радиуса окружности: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Теорема. Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ] и равна разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки до центра окружности.

Теорема. Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Теорема. Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов): [Unparseable or potentially dangerous latex formula. Error 3 ].

Теорема Птолемея: Во всяком четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма произведений длин противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$ .

Окружность, вписанная в многоугольник

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теоремы:

Центром вписанной в четырехугольник окружности является точка пересечения биссектрис (если она биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке).

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Из параллелограммов окружность можно вписать в ромб, квадрат.

Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон, а средняя линия — полусумме боковых сторон: , $m = \frac{{a + b}}{2} = \frac{{c + d}}{2}$ .

Окружность, описанная около четырехугольника

Если вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

Теоремы:

Центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.
В любом четырехугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$ .
Из всех параллелограммов окружность можно описать около прямоугольника, квадрата.

Вневписанная окружность

Вневписанная окружность — окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других его сторон.

Теорема. Расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности с продолжением его боковой стороны равно полупериметру p: $AN\, = p$ .

Примечание: точка касания вневписанной окружности со стороной треугольника делит его периметр пополам: $|AC| + |CH|\,\, = p$ .

Следствие: $CH\,\, = p\,\, - \,\,AC\, = p - c$ , HB = p - b .

Теорема. Радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a, вычисляется по формуле: $r_a = \frac{S}{{p - a}}$ .

Теорема. Площадь треугольника, можно вычислить по формуле: $S = \sqrt {r_a \cdot r_b \cdot r_c \cdot r}$ , где — радиус вписанной окружности; r_a — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне a; r_b — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне b; r_c — радиус вневписанной окружности, проведенный к стороне с.

Оставить комментарий
Сообщить об ошибке