|
Математическая деятельность Пуанкаре носила междисциплинарный
характер, благодаря чему за тридцать с небольшим лет своей напряженной
творческой деятельности он оставил фундаментальные труды практически во
всех областях математики.
Работы Пуанкаре, опубликованные Парижской Академией наук в
1916—1956, составляют 11 томов. Это труды по созданной им
топологии, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений,
теории автоморфных функций, неевклидовой геометрии, интегральным
уравнениям, теории чисел.
Пуанкаре серьёзно использовал и дополнил методы математической физики,
в частности, внёс существенный вклад в теорию потенциала, теорию
теплопроводности. Он также занимался решением различных задач по
механике, электромагнетизму и астрономии.
Первые математические результаты получил в области автоморфных
функций. После защиты докторской диссертации, посвящённой изучению
особых точек системы дифференциальных уравнений, Пуанкаре написал ряд
мемуаров под общим названием «О кривых, определяемых
дифференциальными уравнениями». В них он построил качественную
теорию дифференциальных уравнений, исследовал характер хода
интегральных кривых на плоскости, дал классификацию особых точек,
изучил предельные циклы.
Пуанкаре успешно применял результаты своих исследований к задаче о
движении трёх тел, детально изучив поведение решения (периодичность,
асимптотичность и т. д.). Им введены методы малого параметра,
неподвижных точек, уравнений в вариациях, разработана теория
интегральных инвариантов.
Пуанкаре принадлежат многие важные для небесной механики труды об
устойчивости движения и о фигурах равновесия гравитирующей вращающейся
жидкости. Пуанкаре впервые ввёл в рассмотрение автоморфные функции и
детально их исследовал. При разработке их теории он применил геометрию
Лобачевского.
Для функций нескольких комплексных переменных он построил теорию
интегралов, подобную теории интегралов Коши.
Все эти исследования в конце концов привели Пуанкаре к абстрактному
топологическому определению гомотопии и гомологии. Также он впервые
ввёл основные понятия комбинаторной топологии, такие как числа Бетти,
фундаментальную группу, доказал формулу, связывающую число рёбер,
вершин и граней n-мерного полиэдра (формулу Эйлера — Пуанкаре),
дал первую точную формулировку интуитивного понятия размерности.
В области математической физики Пуанкаре исследовал колебания
трёхмерных континуумов, изучил ряд задач теплопроводности, а также
различные задачи в области теории потенциала, электромагнитных
колебаний. Ему принадлежат также труды по обоснованию принципа Дирихле,
для чего он разработал т. н. метод выметания.
В последние 2 года Пуанкаре живо интересовался квантовой теорией.
Он доказал, что невозможно получить закон излучения Планка без гипотезы
квантов, тем самым похоронив все надежды как-то сохранить классическую
теорию.
 Оставить комментарий
 Сообщить об ошибке
| 
